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Unter kanonischen Transformationen versteht man Transformationen $Q$ und $P$, welche die Form der kanonischen Gleichungen invariant lassen und somit \begin{equation} \dot Q_j = \frac{\partial H'}{\partial P_j} \,,\quad \dot P_j = - \frac{\partial H'}{\partial Q_j} \end{equation} erfüllen, wobei $H'(t, Q, P)$ eine geeignete Funktion ist.

Man er&#228lt f&#252r die kanonische Zustandssumme eines Gemischs aus $r$ verschiedenen idealen Gasen mit jeweils $N_j$ Molek&#252len $$ Z_\mathrm{c} = \prod_{j=1}^r\frac{\zeta_j^{N_j}}{N_j!}\,. \label{eq:td04-129} $$ Die freie Energie wird damit zu einer Summe &#252ber die freien Energien der einzelnen Molek&#252lsorten: $$ F = \sum_{j=1}^rF_j = -k_\mathrm{B}T\sum_{j=1}^r\left(N_j\ln\zeta_j-\ln N_j!\right)\,. \label{eq:td04-130} $$

Die Kapazit&#228t $C$ ergibt sich aus $$C=\frac{Q}{U}\,.$$ F&#252r einen Plattenkondensator gilt dabei $$C=\epsilon_0\epsilon_r\frac{A}{d}\,.$$ Ihre Einheit ist das Farad (F). Beim Kondensator gilt f&#252r die elektrische Feldenergie
$$W=\frac{1}{2}CU^2\,.$$

Ursache (Zeit $t_U$) $\, \rightarrow$ Wirkung (Zeit $t_W$) mit $t_U < t_W$ in der nichtrelativistischen Physik. In der Speziellen
Relativitätstheorie (Zeit abhängig vom Inertialsystem) entspricht die Kausalität der Bedingung, dass es keine Signale mit
Überlichtgeschwindigkeit gibt.

Zweites Kepler'sches Gesetz: Der Fahrstrahl $ \boldsymbol{r}$ überstreicht im Zentralkraftfeld in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Die Flächengeschwindigkeit \begin{equation} \dot{ \boldsymbol{A}} = \frac{1}{2} \boldsymbol{r} \times \dot{ \boldsymbol{r}} \end{equation} ist konstant.

Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie Kuben der gro&#223en Achsen der Ellipsen.

Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Der Fahrstrahl von der Sonne zum Planeten &#252berstreicht in gleichen Zeiten gleiche Fl&#228chen.

Ist $\varphi$ eine lineare Abbildung von einem $\mathbb{K}$-Vektorraum $V$ einen $\mathbb{K}$-Vektorraum $W$, so ist der Kern von $\varphi$ definiert als $$\varphi^{-1}\left( \lbrace 0 \rbrace\right) := \left\lbrace \boldsymbol{v}\in V \vert \varphi(\boldsymbol{v}) = \boldsymbol{0} \right\rbrace \subseteq V$$

Der Kernspin $\boldsymbol{I}_0$ eines Kerns im Grundzustand ist gleich der Vektorsumme $\boldsymbol{j}=\sum\boldsymbol{j}_{i}$ der einzelnen Nukleonenspins. Bei deformierten Kernen kann eine kollektive Rotation aller Nukleonen mit Drehimpuls $\boldsymbol{R}$ um den Schwerpunkt angeregt werden, sodass der gesamte Kerndrehimpuls $\boldsymbol{I}=\boldsymbol{I}_{0}+\boldsymbol{R}$ wird.

Kerne können zerfallen, wenn die Masse des Mutterkerns größer ist als die Summe der Massen der Zerfallsprodukte $M\left(\mathrm{{}_{Z}^{A}X}\right) \geq M_{1}\left(\mathrm{{}_{Z^{\prime}}^{A^{\prime}}Y}\right)+M_{2}$ und wenn der Zerfall nicht durch eine Potential-Barriere oder durch Symmetrieregeln verhindert wird. Die möglichen Zerfallsarten sind $\alpha$-, $\beta^{-}$- bzw. $\beta^{+}$-Emission, $K$-Einfang oder Kernspaltung.

Die kinetische Energie eines Körpers der Masse $m$, der sich mit der Geschwindigkeit $\boldsymbol{v}$ bewegt, ist $E_{\text{kin}}=\frac{m}{2}v^{2}$.

Ein Körper, der Strahlung gut absorbiert, kann auch selbst besonders gut strahlen. Das bedeutet, der Emissionsgrad $\epsilon$ eines Körpers ist abhängig von seinem Absorptionsgrad $\alpha$.

Die kovarianten Basisvektoren des krummlinigen Koordinatensystems $(u_1, u_2, u_3)$ erhält man als Tangentenvektoren der Koordinatenlinien $$\boldsymbol{b}_{u_i} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_i}$$ Die kontravarianten Basisvektoren sind die Normalenvektoren auf die Koordinatenflächen, $$\boldsymbol{b}^{u_i} = \textbf{grad}u_i$$

Je länger der Zeitraum ist, in dem in einer Welle die Anordnung der Phasen zueinander beibehalten werden kann, desto höher ist ihre zeitliche Kohärenz. Daneben gibt es noch die räumliche Kohärenz, die den Zusammenhang zwischen räumlich getrennten Wellen beschreibt. Ein Maß für die zeitliche Kohärenz ist die Kohärenzzeit $\tau_\mathrm{k}$.

Kometen sind kleine, aus Eis und Staub bestehende Himmelskörper, die wahrscheinlich aus einer fernen Region des Sonnensystems (Oortsche Wolke) stammen und deren Bahn durch Störungen in lang gestreckte Ellipsen gebracht wurde. Beim Vorbeiflug an der Sonne verdampft ein Teil des Kometenkerns, und es bildet sich die Koma und der Kometenschweif. Meteore (Sternschnuppen) sind Leuchterscheinungen am Nachthimmel, die durch Mikropartikel aus Kometenschweifen, welche die Erdbahn kreuzen und in der Erdatmosphäre verglühen, verursacht werden.

Ein Ma&#223 f&#252r den Unterschied, den die Reihenfolge der Anwendung zweier Operatoren im Ergebnis macht.

Ein Ausdruck der Form $a+\mathrm{i}b$ mit $a,b \in \mathbb{R}$ heißt komplexe Zahl. Die Menge der komplexen Zahlen notiert man als $$ \mathbb{C} := \left\lbrace z = a+ \mathrm{i}b \vert a,b\in\mathbb{R} \right\rbrace $$ Die Darstellung $$ z = r \cos\varphi + \mathrm{i} r \sin\varphi$$ einer komplexen Zahl $z$ heißt Polarkoordinatendarstellung. Dabei ist $r$ der Abstand der Zahl vom Ursprung, der sogenannte Betrag der Zahl, und $\varphi$ bezeichnet den Winkel zur reellen Achse, dieser wird Argument genannt.

Unter allseitigem Druck $p$ wird die relative Volumenänderung eines Körpers
$\Delta V/V=-\kappa\cdot p$ durch die Kompressibilität $\kappa$ gegeben. Es gilt die Relation $\kappa=3/E(1-2\mu)$ mit der Querkontraktionszahl $\mu=-(\Delta d/d)/(\Delta L/L)$.

Kraftfelder $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$, bei denen die Arbeit $W=\int\boldsymbol{F}\mathrm{d}\boldsymbol{r}$ nur von Anfangspunkt $P_1$ und Endpunkt $P_2$ dieses Weges abhängen, aber nicht vom Verlauf des Weges zwischen $P_1$ und $P_2$, heißen konservativ. Für solche Kraftfelder gilt: $\mathop{\mathbf{rot}}\boldsymbol{F}=\boldsymbol{0}$. Beispiele sind alle Zentralkraftfelder $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})=f(r)\cdot\boldsymbol{r}_{0}$.

Die zeitliche Änderung der Dichte hängt mit der dazu fließenden Größe wie folgt zusammen $$\dot\rho + \text{div}\boldsymbol{j} = 0 $$

Die Massenerhaltung von Fluiden lässt sich durch die lokale Bilanzgleichung \begin{equation} \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \mathrm{div\,} \boldsymbol{j} \quad \mathrm{bzw.} \quad \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \mathrm{div\,} (\rho \boldsymbol{u}) \end{equation} ausdrücken, die an jedem Ort $\boldsymbol{r}$ und zu jeder Zeit $t$ gilt. Es handelt sich also um eine in $\rho$ und $\boldsymbol{u}$ lineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung. Sie ist identisch mit der Impulsdichte.

$$-\mathrm{div}\,\vec{j}\left(\vec{r},t\right)=\frac{\partial\rho\left(\vec{r},t\right)}{\partial t}\quad\text{mit}\quad\vec{j}\left(\vec{r},t\right)=\rho\left(\vec{r},t\right)\ \vec{v}\left(\vec{r},t\right)$$

Konvexe Linsen besitzen eine positive Brennweite $f > 0$ und insgesamt eine Krümmung nach außen, sie können Objekte vergrößert wirken lassen und werden deshalb zum Beispiel in Lupen genutzt. Weiterhin können sie paralleles Licht (beispielsweise von der Sonne) in einem Brennpunkt sammeln, man nennt sie deshalb auch Sammellinsen.

Anstelle der $3 N$ abhängigen Parameter $x_i$ der kartesischen Koordinaten kann man $F = 3 N - r$ unabhängige Parameter $q_j$ ($1 \leq j \leq F$) definieren, die nicht durch die Zwangsbedingungen eingeschränkt werden. Diese werden als neue, verallgemeinerte Koordinaten verwendet. Man spricht auch von generalisierten Koordinaten.

Passive Koordinatentransformationen entsprechen dem Wechsel von einem Koordinatensystem zu einem anderen. Sie haben keine Auswirkung auf physikalische Größen, ändern aber in der Regel ihre Darstellung.

$$F=-D\cdot s$$

Bezeichnet in einem gegebenen Inertialsystem $\boldsymbol{F}$ weiterhin die gewöhnliche Zeitableitung des (relativistischen) Impulses $\boldsymbol{p}$, dann gilt\begin{equation} F^\mu=\begin{pmatrix}F^0 \\ F^m\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}F^0 \\ \gamma\boldsymbol{F} \end{pmatrix}. \end{equation}

Die Zwangskraft hängt im allgemeinen Fall vom momentanen Bewegungszustand (z.B. der Geschwindigkeit) ab. Da dieser bei der Formulierung des Problems in der Regel unbekannt ist, lassen sich die Newton'schen Bewegungsgleichungen in Anwesenheit von Zwangsbedingungen nicht direkt in herkömmlicher Weise lösen.

Bei Kreisbeschleunigern werden die Teilchen durch Magnetfelder auf Kreisbahnen gehalten und ihre Energie wird durch synchron gesteuerte Hochfrequenzbeschleunigungsstrecken sukzessive erhöht. Beim Zyklotron bleibt das Magnetfeld zeitlich konstant. Die Kreisradien werden deshalb mit zunehmender Energie der Teilchen größer. Beim Betatron und beim Synchrotron bleiben die Kreisradien konstant. Das Magnetfeld muss daher mit wachsender Teilchenenergie zunehmen. In allen Fällen stellt das Magnetfeld die Begrenzung für die erreichbare Maximalenergie der Teilchen dar.

Ein kräftefreier symmetrischer Kreisel erlaubt die Lösung \begin{equation} \vartheta(t) = \vartheta_0, \quad \psi(t) = \Omega t + \psi_0, \quad \varphi(t) = \Omega' t + \varphi_0 \end{equation} für die Euler-Winkel.

Ein kräftefreier symmetrischer Kreisel erlaubt die Lösung \begin{equation} \vartheta(t) = \vartheta_0, \quad \psi(t) = \Omega t + \psi_0, \quad \varphi(t) = \Omega' t + \varphi_0 \end{equation} für die Euler-Winkel.

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ liefert eine vektorielle Größe $\boldsymbol{c}$ $\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}~:= ~\boldsymbol{c}$ wobei $\boldsymbol{c}$ ein Vektor, welcher senkrecht auf der durch $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ definierten Ebene steht und $c_i = \sum_{j,\,k} \epsilon_{ijk}\,a_j\,b_k$.

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
zweier Vektoren aus dem $\mathbb{R}^{3}$ ist ein Vektor, der normal
auf die beiden ursprünglichen Vektoren steht:
\begin{equation}
\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{c}
a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\
a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\
a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}
\end{array}\right)\label{eq:VektoriellesProdukt}
\end{equation}

Experimentelle Methoden zur Bestimmung der Kristallstruktur sind die Bragg-Reflexion (Drehkristallverfahren), das Debye-Scherrer-Verfahren (für pulverförmige polykristalline Stoffe) und die Laue-Beugung. Allgemeine Bedingung: Konstruktive Interferenz bei der elastischen Streuung erhält man genau dann, wenn die Wellenvektoränderung $\Delta\mathbf{k}=\mathbf{k}_0 - \mathbf{k}$ zwischen einfallender und gestreuter Welle gleich einem reziproken Gittervektor $\mathbf{G}^{∗}$ ist.

Das Kronecker-Symbol ist ein Kürzel für die Zuordnung $ \delta_{ij} ~:=~\begin{cases} 1 &\quad i=j\\ 0 &\quad \text{sonst} \end{cases} $

In allgemeiner Parameterisierung erhalten wir für die Krümmung und Torsion einer Raumkurve $\gamma$, $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(t)$ $$\kappa = \frac{\Vert \dot{\boldsymbol{x}}\times\ddot{\boldsymbol{x}}\Vert}{\Vert \dot{\boldsymbol{x}}\Vert^3} \,,\qquad \tau = \frac{\det\left(\dot{\boldsymbol{x}}, \ddot{\boldsymbol{x}}, \dddot{\boldsymbol{x}} \right)}{\Vert \dot{\boldsymbol{x}} \times \ddot{\boldsymbol{x}}\Vert^2}$$

Die komplexen Kugelflächenfunktionen \begin{eqnarray}Y_l^m (\vartheta,\varphi) &:=& (-1)^m \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_l^m (\cos\vartheta) \mathrm{e}^{\mathrm{i}m\varphi}\\ Y_l^{-m} &:=& (-1)^m \overline{Y_l^m}\end{eqnarray} mit den Legendre-Funktionen $P_l^m$, bilden auf der Einheitskugel ein Orthogonalsystem mit $$\int\int_{S^2} Y_m^k(\vartheta, \varphi) \overline{Y_m^l}(\vartheta,\varphi) \mathrm{d}\Omega = \delta_{mn} \delta_{kl}$$

Der Laplace-Operator $\varDelta$, angewandt auf eine skalare Funktion $f$, hat in Kugelkoordinaten $(r, \vartheta, \varphi)$ die Gestalt: \begin{equation} \varDelta f = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} r^2 \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta} \sin \vartheta \frac{\partial f}{\partial \vartheta} + \frac{1}{r^2 \sin^2 \vartheta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}. \end{equation}

Zur Berechnung eines Kurvenintegrals wird als Erstes der Integrationsweg parametrisiert. $ I ~=~ \int_{\boldsymbol{r}(s)}\,dl~F(\boldsymbol{r}) ~=~ \int_{s_1}^{s_2}\,ds~\sqrt{\left(\frac{dx}{ds}\right)^2+\left(\frac{dy}{ds}\right)^2}\,F\left(x(s),y(s)\right) $

Das Kurvenintegral entlang einer mit $\boldsymbol{\gamma}(t)$ für $t\in[a,b]$ parametrisierten Kurve $\gamma$ über ein Vektorfeld $$\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}) = \left(v_1(\boldsymbol{x}, \dots ,v_n(\boldsymbol{x})\right)^\top$$ ist definiert als $$\int_\gamma \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{s} := \int_a^b \boldsymbol{v}\left( \boldsymbol{x}(t) \right) \cdot \dot{\boldsymbol{x}}(t) \mathrm{d}t$$