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Der Tangenteneinheitsvektor ergibt sich als $\hat{\boldsymbol{t}}=\frac{ {\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}}}{{ \left|\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\right|}}=\frac{ {\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}}}{{ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}}}\;.$

\begin{equation}\vert\vec{v}_{\mathrm{t}}\vert = \vert\vec{r}\vert \cdot \vert\vec{\omega}\vert \cdot \sin \varphi \end{equation}

Für eine Funktion $f: G \rightarrow \mathbb{R}$ mit $G \subset \mathbb{R}^n$ offen, $f\in C^{n+1}(G)$, einen Vektor $\tilde{\boldsymbol{x}}\in G$ und eine Vektor $\boldsymbol{h} = \left( h_1, \dots, h_n\right)^\top$ gilt: $$ $$ Liegen die Punkte $\tilde{\boldsymbol{x}} + t\boldsymbol{h}$ für $t\in[0,1]$ alle in $G$, dann gibt es ein $\vartheta \in (0,1)$, sodass \begin{eqnarray} f(\tilde{\boldsymbol{x}} + \boldsymbol{h}) &=& \sum_{\nu= 0}^m \left. \frac{1}{\nu!} \left( \boldsymbol{h} \cdot \nabla\right)^\nu f \right\vert_{\tilde{\boldsymbol{x}}} \\ && + \left. \frac{1}{(m+1)!} \left( \boldsymbol{h} \cdot \nabla \right)^{m+1} f \right\vert_{\tilde{\boldsymbol{x}}+\vartheta\boldsymbol{h}}\end{eqnarray} hierbei nennen wir dabei $\tilde{\boldsymbol{x}}$ die Entwicklungsstelle.

Man nennt die rechte Seite von $ f(x_0+\delta x) ~=~ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\,\delta x^n $ die Taylor-Reihe der Funktion $f$ um den Punkt $x_0$. Die Kenntnis aller Ableitungen von $f$ im Punkt $x_0$ ist somit gleichwertig zur Kenntnis aller Funktionswerte von $f$ in jeder Umgebung von $x_0$, in der diese Reihe konvergiert.

Die technische Stromrichtung zeigt von Plus nach Minus, w&#228hrend die physikalische Stromrichtung von Minus nach Plus zeigt, also den Elektronen folgt. In Wirklichkeit bewegen sich die Elektronen, und zwar von Minus nach Plus. Wenn wir die Stromrichtung anzeigen, benutzen wir dennoch aus historischen Gr&#252nden meist die Bewegungsrichtung von Plus nach Minus einer hypothetischen positiven Ladung.

Ein Tensor 1.Stufe ist eine Größe, deren Komponenten $x^i$ oder $x_i$ sich bei einem Wechsel von der Basis $B$ zu $\overline{B}$ kontravariant oder kovariant verhalten, also $$\overline{x}^i = \overline{a}^i_j x^j \,,\quad x^i = \underline{a}^i_j \overline{x}^j \qquad\qquad \overline{x}_j = \underline{a}^i_j x_i \,,\quad x_j = \overline{a}^i_j \overline{x}_i$$

Wir halten fest, dass man wegen $T_{ij} = T(\boldsymbol{\hat e}_i \,,\, \boldsymbol{\hat e}_j)$ und $T_{ij} = \frac{T(\boldsymbol{a}\,,\, \boldsymbol{b})}{a_i b_j}$ Tensoren zweiter Stufe als Matrizen darstellen kann. Analog können Tensoren erster Stufe als Vektoren dargestellt werden.

Wird ein starrer Körper in einem Punkt festgehalten, so ist die allgemeine Bewegung eine Drehung um eine Achse, die durch diesen Punkt läuft.

Durch verschiedene geeignete Legendre-Transformationen haben wir die folgenden thermodynamischen Funktionen bekommen: die innere Energie $U(S, V)$, die freie Energie $F(T, V) = U(S, V)-TS$, die Enthalpie $H(S, P) = U(S, V)+PV$, die freie Enthalpie $G(T, P) = F(T, V)+PV = U(S, V)-TS+PV$. Ihre vollst&#228ndigen Differenziale waren: \begin{align*} \mathrm{d} U(S, V) &= T\mathrm{d} S-P\mathrm{d} V\nonumber\\ \mathrm{d} F(T, V) &= -S\mathrm{d} T-P\mathrm{d} V\nonumber\\ \mathrm{d} H(S, P) &= T\mathrm{d} S+V\mathrm{d} P\nonumber\\ \mathrm{d} G(T, P) &= -S\mathrm{d} T+V\mathrm{d} P \label{eq:td03-44} \end{align*}

Bei der Beschreibung von Bewegungen in beschleunigten Bezugssystemen müssen zusätzliche Beschleunigungen eingeführt werden, die formal durch sogenannte Trägheitskräfte (Scheinkräfte) berücksichtigt werden. In einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\boldsymbol{\omega}$ rotierenden System sind dies: Die Corioliskraft $F_{\text{c}}=2m(\boldsymbol{v}^{\prime}\times\boldsymbol{\omega})$, die von der Geschwindigkeit $\boldsymbol{v}^{\prime}$ des Körpers der Masse $m$ relativ zum beschleunigten Koordinatensystem abhängt, und die Zentrifugalkraft $F_{\text{Zf}}=m\cdot\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{\omega})$, die unabhängig von $\boldsymbol{v}^{\prime}$ ist.

Für die Drehung um eine feste Achse $ \boldsymbol{\hat n}$ reicht es, das Trägheitsmoment \begin{equation} \Theta_n = \sum_{a} m_{a} \left[ \boldsymbol{x}_{a}^2 - ( \boldsymbol{x}_{a} \cdot \boldsymbol{\hat n})^2\right] = \sum_{a} m_{a} l_{a}^2 \end{equation} zu kennen, wobei $l_{a}$ der Abstand von $m_{a}$ zur Drehachse ist. Ist die Drehachse bezüglich des starren Körpers eine Funktion der Zeit, kann das Trägheitsmoment ebenfalls zeitabhängig sein.

$ J=\sum\limits_{i}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)$ als Summe der Produkte der Massen mit dem Quadrat des Abstandes von der Drehachse. $J$ ist eine zeitlich konstante skalare Gr&#246&#252e, die von der Lage und der Richtung der Achse im starren K&#246rper abh&#228ngt.

Die Größe $ \boldsymbol{\Theta}'$ mit den neun Komponenten \begin{eqnarray} \Theta'_{ij} &:=& \sum_{a} m_{a} \left(\delta_{ij} \boldsymbol{x}'^2_{a} - x'_{{a}, i} x'_{{a}, j}\right) \\ &=& \sum_{a} m_{a} \begin{pmatrix} x_{{a},2}^2 + x_{{a},3}^2 & -x_{{a},1} x_{{a},2} & -x_{{a},1} x_{{a},3} \\ - x_{{a},1} x_{{a},2} & x_{{a},1}^2 + x_{{a},3}^2 & - x_{{a},2} x_{{a},3} \\ -x_{{a},1} x_{{a},3} & - x_{{a},2} x_{{a},3} & x_{{a},1}^2 + x_{{a},2}^2\end{pmatrix} \end{eqnarray} ist der Trägheitstensor eines starren Körpers in seinem Schwerpunktsystem. Mit seiner Hilfe lässt sich die kinetische Energie (Rotationsenergie) des starren Körpers berechnen, wenn die Winkelgeschwindigkeit $\boldsymbol{\omega}'$ im Schwerpunktsystem bekannt ist: \begin{equation} T'_\mathrm{R} = \frac{1}{2} \omega'_i \Theta'_{ij} \omega'_j = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}'^\top \boldsymbol{\Theta}' \boldsymbol{\omega}'. \end{equation}

$\Theta_{kl}=\sum_{n=1}^{N}m_{n}(\boldsymbol{r}_{n}^{\,2}\delta_{kl}-x_{k}^{n}x_{l}^{n})$

Die Komponenten des Trägheitstensors für eine kontinuierliche Massenverteilung $\mu( \boldsymbol{x})$ lauten \begin{equation} \Theta_{ij} = \int \mathrm{d} V\, \mu( \boldsymbol{x}) \left( \boldsymbol{x}^2 \delta_{ij} - x_i x_j\right). \end{equation}

Ist eine Kurve im Phasenraum, der eine Bahn im Konfigurationsraum $\mathbb{R}^f$ zuzuordnen ist.

In Matrixform geschrieben lautet die Lorentz-Transformation von einem Inertialsystem $\mathcal S$ auf ein Inertialsystem $\mathcal S'$, das sich gegenüber $\mathcal S$ mit Geschwindigkeit $v=\beta\, c$in positiver $x$-Richtung bewegt: \begin{equation} \left( \begin{array}{c} c t^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array} \right) = \underbrace{\left( \begin{array}{cccc} \gamma & - \beta\gamma & 0 & 0 \\ - \beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)}_{\boldsymbol{\Lambda}(v)} \; \left( \begin{array}{c} c t \\ x \\ y \\ z\end{array} \right), \end{equation} mit den gebräuchlichen Abkürzungen $\beta:=\frac{v}{c},\qquad \gamma:=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$.

Der Ortsvektor ist ein an den Ursprung gebundener Vektor. Nur Differenzen von Ortsvektoren, $\boldsymbol{d} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{b}$, transformieren sich wie \begin{equation} \boldsymbol{d}' = \boldsymbol{R} \boldsymbol{d}. \end{equation} Solche Größen nennt man im physikalischen Sinne Vektoren.

Unter kanonischen Transformationen versteht man Transformationen $Q$ und $P$, welche die Form der kanonischen Gleichungen invariant lassen und somit \begin{equation} \dot Q_j = \frac{\partial H'}{\partial P_j} \,,\quad \dot P_j = - \frac{\partial H'}{\partial Q_j} \end{equation} erfüllen, wobei $H'(t, Q, P)$ eine geeignete Funktion ist.

Es ist $\mathfrak{a}=a^\mu\mathfrak{e}_\mu$ ein Vierervektor mit kontravarianten Komponenten $a^\mu$, wenn letztere bei einer gemäß \begin{equation} a'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu\,a^\nu\end{equation} transformieren.

Aus einer Kombination von pnp- oder npn-Halbleitern entsteht ein Transistor. Er kann je nach Beschaltung als Spannungs- oder Stromverstärker verwendet werden. Feldeffekt-Transistoren verwenden die Steuerung des elek trischen Widerstandes zwischen Quelle (Source) und Senke (Drain) durch ein elektrisches Feld, das durch eine Steuerspannung an der dritten Elektrode (Gate) erzeugt wird. Dieses Feld bewirkt eine Ladungsträger-Verarmungszone, deren Ausdehnung durch die Gate-Spannung gesteuert wird.

Ein Operator, der die Wellenfunktion r&#228umlich verschiebt.

Differentialgleichungen der Form $ y'(x) + \frac{h(x)}{g(y)} ~=~ 0 $ lassen sich durch $y'(x) = dy/dx$ umschreiben in $ g(y)\,dy~=~-h(x)\,dx .$ Die linke Seite dieser Gleichung hängt nur von y, die rechte nur von x ab - Integration möglich. Dieses Verfahren heißt Trennung der Veränderlichen.

In Supernovae dieses Typs wird das Material mindestens eines wei&#223en Zwergsterns unter entarteten Bedingungen explosionsartig gez&#252ndet. Da dabei eine aus der Chandrasekhar-Masse ungef&#228hr bekannte Menge bekannten Kernmaterials zu bekannten Endprodukten fusioniert, liegt es nahe, dass auch die Menge der dabei freigesetzten Energie ungef&#228hr bekannt ist. Typ-Ia-Supernovae sind daher eigentlich keine Standardkerzen, k&#246nnen aber mithilfe der empirisch kalibrierten und theoretisch verstandenen Philipps-Relation standardisiert werden.