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Eine Bewegungsgleichung f&#252r den Erwartungswert von Operatoren.

Menge von lokalen Symmetrietransformationen, die die mathematischen Gruppenpostulate erfüllen.

$$\begin{aligned} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r},t)& \; \mapsto\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r},t)+\nabla\chi(\boldsymbol{r},t) \;,\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \varphi(\boldsymbol{r},t)& \; \mapsto\varphi(\boldsymbol{r},t)-\dot{\chi}(\boldsymbol{r},t)\;.\end{aligned}$$

Ein Eigenzustand eines Operators ist ein spezieller Zustand, der durch die Anwendung des Operators, bis auf die Multiplikation mit dem Eigenwert, nicht ge&#228ndert wird.

Tritt in einem Term derselbe Index zweimal auf, einmal oben und einmal unten, so ist über diesen Index zu summieren.

Die relative Änderung der kinetischen Energie eines im Laborsystem gestreuten Teilchens der Masse $m_1$ ist \begin{equation} \frac{T_{\mathrm f, 1} - T_{\mathrm i, 1}}{T_{\mathrm i, 1}} = 2 \frac{m_1}{M} \left(1 - \frac{m_1}{M}\right) ( \mathrm{cos\:} \vartheta' - 1) \leq 0 \end{equation} mit $M = m_1 + m_2$. Für alle Streuwinkel $ \vartheta' > 0$ verliert das Teilchen kinetische Energie, die auf das zweite Teilchen übertragen wird. Der Streuwinkel $ \vartheta'$ im Schwerpunktsystem kann formal mithilfe von $\tan\vartheta_1 = \frac{\sin \vartheta'}{\cos \vartheta' + \frac{m_1}{m_2}}$ in den Streuwinkel $\vartheta_1$ von $m_1$ im Laborsystem überführt werden.

Zwei Massen wechselwirken und tauschen Impulse teilweise aus. Der Impuls ist erhalten und die Energie ist erhalten.

Die Bewegungsgleichung des Bandes (d.h. der kontinuierlichen Kette) lautet in Abwesenheit von äußeren Kräften \begin{equation} \rho \frac{\partial^2 q(t, x)}{\partial t^2} - Y \frac{\partial^2 q(t, x)}{\partial x^2} = 0. \end{equation} Es handelt sich hierbei um eine lineare partielle Differenzialgleichung zweiter Ordnung für die Funktion $q(t, x)$, die auf dem Intervall $[0, \ell]$ definiert ist.

Ein elektrischer Strom ist ein Transport elektrischer Ladungen. Er ist immer mit Massetransport verbunden. Die Stromdichte $\boldsymbol{j}=n^{+}q^{+}\boldsymbol{v}_{\text{D}}^{+}+n^{-}q^{-}\boldsymbol{v}_{\text{D}}^{-}$ hängt ab von den Dichten $n^\pm$ der Ladungsträger mit der Ladung $q^\pm$ und von ihren Driftgeschwindigkeiten $\boldsymbol{v}_{\text{D}}^\pm$. Der Zusammenhang zwischen Stromdichte $\boldsymbol{j}$ und elektrischer Feldstärke $\boldsymbol{E}$ wird bei Ohm´schen Leitern durch das Ohm´sche Gesetz gegeben: $\boldsymbol{j}=\sigma_{\text{el}}\cdot\boldsymbol{E}$. Die elektrische Leitfähigkeit $\sigma_{\text{el}}$ ist eine Materialkonstante, die im Allgemeinen von der Temperatur abhängt.

Ein elektrischer Dipol besteht aus zwei entgegengesetzten Ladungen $+Q$ und $-Q$ im Abstand $d$. Sein Dipolmoment ist $\boldsymbol{p}=Q\cdot\boldsymbol{d}$, wobei $\boldsymbol{d}$ von der negativen zur positiven Ladung zeigt. Im homogenen elektrischen Feld wirkt ein Drehmoment $\boldsymbol{D}=(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{E})$. Im inhomogenen Feld wirkt zusätzlich die Kraft $\boldsymbol{F}=\boldsymbol{p}\cdot\mathop{\mathbf{grad}}\boldsymbol{E}$.

Das elektrische Dipolmoment lautet $\vec{p}=Q\cdot\vec{d}\,.$

Das elektrische Potenzial $\phi$, dessen Differenz zwischen zwei verschiedenen Punkten die Spannung $U$ definiert, ist gegeben durch $$\phi(r)=-\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\epsilon_r r}\,.$$ Die elektrische Spannung lautet damit $$U(r)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)\,,$$ und ihre Einheit wird mit Volt bezeichnet. Generell ist die Verkn&#252pfung zwischen elektrischem Potenzial und elektrischem Feld $\vec{E}=-\vec{\nabla}\phi$, vereinfacht kann man mit den Betr&#228gen aber auch schreiben $$E=\frac{U}{d}\,.$$

Vereinheitlichte Theorie der elektromagnetischen und schwachen Wechselwirkungen (Kap. 7); diese Theorie bildet gemeinsam mit der Quantenchromodynamik das Standardmodell der fundamentalen
Wechselwirkungen.

$ E=\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol{r}}^{2}+\,V(\boldsymbol{r})\;.$ Diese Gleichung ist der Energiesatz: Die zeitliche &#196nderung der Energie ist gleich der Leistung der dissipativen Kr&#228fte. Sind alle Kr&#228fte konservativ, so gilt der Energieerhaltungssatz. $\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol{r}}^{2}+V(\boldsymbol{r})=E=\mathrm{const}\;.$

\begin{equation} E_\mathrm{kin} = \textstyle{\frac{1}{2}}\,m\,v_\mathrm{S}^2 + \textstyle{\frac{1}{2}}\,I_\mathrm{S}\,\omega^2 \end{equation}

Die Relation \begin{equation} (p^0)^2-\boldsymbol{p}^2\equiv \frac{E^2}{c^2}-\boldsymbol{p}^2=m^2 c^2\end{equation} behält ihre Gültigkeit auch für masselose Teilchen, wobei die Identifikationvon $\boldsymbol{p}=\gamma m\boldsymbol{v}$ fallen gelassen wird. Masselose Teilchen haben $|\boldsymbol{v}|=c$ und $|\boldsymbol{p}|=E/c$; sie werden durch einen lichtartigen Vierervektor ($p^\mu p_\mu=0$) charakterisiert.

$$\begin{aligned} w(\boldsymbol{r},t)=\frac{1}{2}\left[\boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)\mathbin{\boldsymbol{\cdot}}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)+\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)\mathbin{\boldsymbol{\cdot}}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{r},t)\right]\;.\end{aligned}$$

Die Energie eines mechanischen Systems ist erhalten, wenn alle Kräfte konservativ sind.

Sind alle Kräfte konservativ, ist die Gesamtenergie in einem System aus $N$ paarweise wechselwirkenden Punktmassen erhalten. Dissipative Kräfte können die Gesamtenergie ändern: \begin{equation} \frac{ \mathrm{d}}{ \mathrm{d} t}(T + V) = \sum_i \boldsymbol{F}^{\mathrm{diss}}_i \cdot \dot{\boldsymbol{x}}_i. \end{equation}

Die Gesamtenergie $E$ ist zeitlich konstant $ E\left(\dot{\boldsymbol{r}}(t),\,\boldsymbol{r}(t)\right)~:=~\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol{r}}^2 + V(\boldsymbol{r})~=~T + V~=~\text{const.} $

Zur Erzeugung von Energie aus Kernspaltungen muss eine kontrollierte Kettenreaktion aufrecht erhalten werden. Dies kann z. B. erreicht werden durch mit ${}^{235}\mathrm{U}$ angereichertes Uran. Die Spaltneutronen werden in einem Moderator abgebremst, weil langsame Neutronen einen größeren Spaltquerschnitt haben. Die Zunahme der Neutronenzahl von einer Spaltgeneration zur nächsten wird durch $N(T) = N(0)\cdot \mathrm{e}^{(k_{\text{eff}}-1)\cdot t/T}$ beschrieben, wobei die Reaktorperiode $T$ die mittlere Zeit zwischen zwei Spaltgenerationen ist. Der Multiplikationsfaktor $k_{\text{eff}}=\eta\cdot\varepsilon\cdot p\cdot f$ setzt sich zusammen aus der mittleren Zahl von Spaltneutronen pro ${}^{235}\mathrm{U}$-Kern $\eta$, pro ${}^{238}\mathrm{U}$-Kern $\varepsilon$, der Abbremswahrscheinlichkeit $p$ für ein Neutron und der Wahrscheinlichkeit $f$, dass ein Neutron nicht im Moderator absorbiert wird. Im stationären Betrieb muss $k_{\text{eff}}=1$ sein.

Die erlaubten Energien für Atome bzw. Ionen mit nur einem Elektron sind \begin{equation}E_n = -Ry^{∗} \cdot \frac{Z^{2}}{n^{2}} \qquad \left(n=1,2,3,\dots\right) \end{equation} wobei $Ry^{∗}=\mu\cdot e^{4}\,/\,\left(8\,\epsilon_0^{2}\,\mathrm{h}\right)$ die Rydbergkonstante für das System Elektron–Kern mit der reduzierten Masse $\mu$ ist. Alle energetisch angeregten Atomzustände $E_k$ sind instabil. Sie zerfallen durch Emission von Photonen mit $h\,\nu = E_k-E_i$ in tiefere Zustände $E_i$. Die Quantisierung der atomaren Energieniveaus wird experimentell bestätigt durch den Franck-Hertz-Versuch und durch Linienspektren bei der Absorption und Emission von elektromagnetischer Strahlung durch Atome. Eine äquivalente Formulierung der Bohr’schen Quantenbedingung ist die Forderung der Quantisierung des Elektronenbahndrehimpulses $l$: \begin{equation} \left\vert \mathbf{l} \right\vert = n \cdot \hslash \qquad \left(n=1,2,3,\dots\right) \end{equation} Das Bohr’sche Atommodell wird durch die Quantentheorie in einigen Punkten korrigiert.

Sind die angewandten Kräfte $\boldsymbol{F}_i$ konservativ, lautet der Energiesatz in Anwesenheit von holonomen Zwangsbedingungen \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} (T + V) = - \sum_{a=1}^r \lambda_a \frac{\partial f_a}{\partial t}. \end{equation} Die Energie ist erhalten, wenn die Zwangsbedingungen skleronom sind, d.h. ihre partiellen Zeitableitungen verschwinden.

Die Entropie $S=k\ln W$ ist ein Maß für den Ordnungszustand eines Systems. Sie hängt ab von der Zahl $W$ der Realisierungsmöglichkeiten des Systems bei vorgesehener Temperatur und Gesamtenergie.

Unser Sonnensystem ist vor $4{,}5$ Mrd. Jahren durch Kontraktion einer rotierenden Gaswolke entstanden, wahrscheinlich ausgelöst durch Stoßwellen einer Supernova-Explosion. Die Bildung der sonnennahen erdähnlichen Planeten und der sonnenfernen jupiterähnlichen Planeten kann erklärt werden durch den radialen Temperaturverlauf $T(R)$ in dem rotierenden solaren Nebel. Der Drehimpuls musste während der Kontraktionsphase des solaren Nebels von innen nach außen transportiert werden. Deshalb tragen die Planeten $99\,\%$ des Gesamtdrehimpulses des Systems, während die Sonne $99\,\%$ der Gesamtmasse enthält.

Der Drehimpuls einer Punktmasse ist genau dann erhalten, wenn keine Drehmomente auf diese Punktmasse wirken.

Die Energie eines mechanischen Systems ist erhalten, wenn alle Kräfte konservativ sind.

Ist die Kraft $F(z)$ nur eine Funktion des Ortes, so kann in einer Dimension stets ein Potenzial $$V(z) = \int_{z_0}^z F(z') \mathrm{d} z'$$ definiert werden. Die Energie ist dann erhalten.

Bei allen Kernreaktionen bleiben die Nukleonenzahl, die elektrische Ladung, der Drehimpuls und die Parität erhalten.

Das Ausnutzen von Erhaltungsgrößen vereinfacht in der Regel das Lösen der Bewegungsgleichungen. Der erste Schritt bei der Analyse eines physikalischen Problems sollte daher das Identifizieren von Symmetrien und Erhaltungsgrößen sein.

In einem abgeschlossenen System bleibt die Summe aus positiver und negativer Ladung konstant.

Alte Definition des Coulomb

Jedem thermodynamischen System wird die innere Energie $U$ als eine Zustandsgr&#246&#223e zugeordnet. Die innere Energie w&#228chst mit der zugef&#252hrten W&#228rme und nimmt um die vom System an seiner Umwelt verrichtete Arbeit ab. F&#252r ein geschlossenes System betr&#228gt die infinitesimale &#196nderung der inneren Energie $$ \mathrm{d} U = \delta Q-\delta W\,, \label{eq:td01-45} $$ wenn es die infinitesimale W&#228rme $\delta Q$ aufnimmt und die infinitesimale Arbeit $\delta W$ an der Umgebung verrichtet. Die innere Energie ist nur bis auf eine additive Konstante bestimmt.

Der Mittelwert von Messungen derselben Observablen an einer Vielzahl identischer quantenmechanischer Systeme, also Systeme mit derselben Wellenfunktion.

Bei einer erzwungenen Schwingung wird dem schwingenden System von außen periodisch Energie zugeführt. Nach einem Einschwingvorgang stellt sich eine stationäre Schwingung mit der Erregerfrequenz ein, bei der die Verluste des Systems gerade von außen gedeckt werden. Im Resonanzfall (Erregerfrequenz = Eigenfrequenz des Systems) kann die Amplitude sehr groß werden (Resonanzkatastrophe).

Wird ein starrer Körper in einem Punkt festgehalten, so ist die allgemeine Bewegung eine Drehung um eine Achse, die durch diesen Punkt läuft.

Die Impulsdichte $\rho \boldsymbol{u}$ genügt der Euler-Gleichung \begin{equation} \frac{\partial (\rho \boldsymbol{u})}{\partial t} = - \mathbf{div\,} (\rho \boldsymbol{u} \circ \boldsymbol{u}) - \mathbf{grad\,} P + \boldsymbol{f} \end{equation} an jedem Ort $\boldsymbol{r}$ und zu jeder Zeit $t$. Dies sind drei nichtlineare partielle Differenzialgleichungen.

Die Bewegungsgleichungen für die Rotation eines starren Körpers im körperfesten System lauten \begin{equation} \boldsymbol{M}^∗ = \boldsymbol{\Theta}^∗ \dot{\boldsymbol{\omega}}^∗ + \boldsymbol{\omega}^∗ \times \left( \boldsymbol{\Theta}^∗ \boldsymbol{\omega}^∗\right). \end{equation} Sie entsprechen den Newton'schen Bewegungsgleichungen für die Translation einer Punktmasse.

Die $N$ Funktionen $y_i(x)$ lassen sich aus \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial f^∗}{\partial y'_i} - \frac{\partial f^∗}{\partial y_i} = 0 \quad (1 \leq i \leq N) \end{equation} bestimmen, wobei $f^∗ := f - \sum_{j=1}^r \lambda_j f_j$ ist.

Ein kräftefreier symmetrischer Kreisel erlaubt die Lösung \begin{equation} \vartheta(t) = \vartheta_0, \quad \psi(t) = \Omega t + \psi_0, \quad \varphi(t) = \Omega' t + \varphi_0 \end{equation} für die Euler-Winkel.

Ist die Funktion $f$ in einer Umgebung des Punktes $(x_0,y_0)$ stetig und samt ihrer partiellen Ableitung nach $y$ beschränkt, so gibt es in dieser Umgebung genau eine Lösung $f$ der Differentialgleichung $y'(x)~=~f\left(x,\,y(x)\right) $ mit der Anfangsbedingung $ y(x_0)=y_0 $.

Das Universum kann als dreidimensionaler gekrümmter Raum mit einem Skalenfaktor (Krümmungsradius) $R(t)$ beschrieben werden. Die Entwicklung von $R(t)$ gibt die Expansion des Weltalls an. Die Expansion startet bei $t=0$ aus einem begrenzten Bereich mit $R(0)\approx 0$ an keinem ausgezeichneten Raumpunkt des dreidimensionalen Raums. Der zeitliche Verlauf der Expansion $R(t)$ hängt ab von der Massendichte $\rho$ des Universums. Es gibt eine kritische Massendichte $\rho = \rho_\mathrm{c}$, bei der die Gesamtenergie (kinetische Expansionsenergie + negative potentielle Energie) null ist. Für $\rho > \rho_\mathrm{c}$ leben wir in einem geschlossenen Universum, das einen maximalen Wert $R_\mathrm{max}$, erreicht und dann wieder kollabiert. Für $\rho \leq \rho_\mathrm{c}$ hält die Expansion an, sodass $R\to\infty$ geht. Neuere Ergebnisse scheinen zu zeigen, dass die Expansion beschleunigt erfolgt. Dies wird der abstoßenden Wirkung einer noch nicht verstandenen „dunklen Energie“ zugeschrieben.

$f(x)$ sei in $x_{0}$ differenzierbar und besitze dort ein (lokales) Extremum. Dann gilt $\begin{aligned} f^{\prime}(x_{0})=0.\end{aligned}$ Dieses Kriterium ist nicht hinreichend! Ein hinreichendes Kriterium f&#252r ein Extremum im Punkt $x=x_{0}$ lautet $f^{\prime}(x_{0})=0 \text{ und }f^{\prime\prime}(x_{0})\;\;\left\{\begin{array}[]{ll}> 0 \text{ Minimum}\\ <0 \text{ Maximum}\end{array}\right.\;.$

Im Gleichgewicht eines abgeschlossenen, makroskopischen Systems werden sich diejenigen Werte der makroskopischen Zustandsgr&#246&#223en einstellen, mit denen die gr&#246&#223tm&#246gliche Anzahl zug&#228nglicher Mikrozust&#228nde vertr&#228glich ist.