Gesamtglossar aller Bücher

Die Wellenfunktion und die Dynamik eines Systems k&#246nnen in verschiedenen R&#228umen (z.B. Impuls-, Orts- oder Energieraum) beschrieben werden. Diese verschiedenen Formalismen bezeichnen wir als Darstellung.

Zusammenhang zwischen dem Impuls eines Teilchens und der Wellenl&#228nge, die es in bestimmten Experimenten zeigt.

Für einen Vektoren $\boldsymbol{a}$ bedeutet Definitheit $ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a} ~>~ 0 \qquad \forall \boldsymbol{a}\neq\boldsymbol{o} $

Energie $E$ ist die F&#228higkeit, Arbeit zu verrichten. Ihre Einheit ist, genau wie die der Arbeit, Joule.

$$\begin{aligned} \boldsymbol{H}=\frac{1}{\mu _{0}}\boldsymbol{B}-\boldsymbol{M}\quad{(\textbf{Magnetfeld})\;.}\end{aligned}$$

Gegeben sei eine Matrix $A=(a_{ij})\in\mathbb{K}^{n\times n}$.$$ $$ Für $n=1$, d.h. $A=(a_{11})$, definieren wir $$\det \boldsymbol{A} := a_{11}$$ Für $n\geq 2$ definieren wir \begin{eqnarray} \det\boldsymbol{A} &:=& \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1} \det(\boldsymbol{A}_{i1}) \\ &=& a_{11} \det(\boldsymbol{A}_{11}) -+ \dots (-1)^{n+1} a_{n1} \det(\boldsymbol{A}_{n1}) \end{eqnarray}

Die Deuteriumfusion und damit alle weiteren Fusionsreaktionen finden statt, w&#228hrend das Universum zwischen f&#252nf und sechs Minuten alt ist. Die entsprechende thermische Energieskala liegt bei etwa 68 keV. Ebenso wie die Rekombinationsreaktion des Wasserstoffs werden also die primordialen Fusionsreaktionen durch die enorme &#220berzahl der Photonen gegen&#252ber den Baryonen erheblich verz&#246gert.

Eine Matrix $\boldsymbol{A}\in\mathbb{K}^{n\times n}$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis $B$ des $\mathbb{K}^n$ aus Eigenvektoren $\boldsymbol{A}$ gibt. Ist $B=\left( \boldsymbol{b}_1, \dots, \boldsymbol{b}_n \right)$ eine geordnete Basis des $\mathbb{K}^n$ aus Eigenvektoren der Matrix $\boldsymbol{A}$, so ist die Matrix $$\boldsymbol{D} = \boldsymbol{S}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{S}$$ mit $\boldsymbol{S} = \left((\boldsymbol{b}_1, \dots ,\boldsymbol{b}_n) \right)$ eine Diagonalmatrix. Reelle symmetrische und hermitesche Matrizen sind stets diagonalisierbar. Die sie auf Diagonalgestalt transformierenden Matrizen können dabei orthogonal bzw. unitär gewählt werden.

Die komplexe dielektrische Funktion $\epsilon(\omega) = \epsilon' + \mathrm{i}\,\epsilon''$ gibt den Frequenzverlauf von Brechungsindex und Absportionsindex an. Es gilt: \begin{eqnarray} \epsilon' &=^{2} - \kappa^{2} \\ \epsilon'' &=& -2\,n'\,\kappa \end{eqnarray} wobei $n'$ der Realteil des Brechungsindex $n$ und $\kappa = \frac{\lambda}{4\,\pi}\,\alpha$ proportional zum Absorbtionskoeffizienten ist.

$$\begin{aligned} \boldsymbol{D}(\boldsymbol{r})=\varepsilon _{0}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})+\boldsymbol{P}(\boldsymbol{r})\;.\end{aligned}$$

Das totale Differential einer Funktion gibt die kleine Änderung ihres Funktionswertes bei kleinen Änderungen aller ihrer Argumente an.

Mithilfe der Fourier-Transformation lässt sich eine lineare Differentialgleichung für eine Funktion $f$ in eine algebraische Gleichung für ihre Fouriertransformierte $\tilde{f}$ überführen.

Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten werden mit einem Exponentialansatz gelöst.

Eine inhomogene lineare partielle Differentialgleichung ist bis auf Quadratur gelöst, wenn ihre Green’sche Funktion bekannt ist.

Ein Differentialoperator $\mathcal{D}$ heißt bezüglich eines Skalarprodukts selbstadjungiert, wenn gilt $$\left\langle \mathcal{D} g\,,\,h\right\rangle = \left\langle g\,,\, \mathcal{D} h\right\rangle$$

Die Ableitung ist eine lineare Abbildung: $$y=c\cdot f(x)\Rightarrow y^{\prime}=c\cdot f^{\prime}(x)\;,$$ $$y=f(x)+g(x)\Rightarrow y^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\;$$

$$y=\frac{f(x)}{g(x)}\;; g(x)\neq 0\Rightarrow y^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{g^{2}(x)}\;$$

Die Dimension eines Vektorraumes ist gleich der maximalen Anzahl linear unabh&#228ngiger Vektoren.

$$\begin{aligned} & \; \textbf{Dipolmoment:}& \; & \; \boldsymbol{p}=\int\mathrm{d}^{3}r^{{\prime}}\boldsymbol{r}^{{\prime}}\varrho(\boldsymbol{r}^{{\prime}})\;\end{aligned}$$

Der Brechungsindex eines Mediums h&#228ngt von der Farbe des Lichts bzw. dessen Wellenl&#228nge ab. Beispiele: Prisma \& Regenbogen.

Materiewellen zeigen Dispersion, d.h. ihre Phasengeschwindigkeit hängt ab von der Frequenz $\omega$ ab. Sie ist größer als die Lichtgeschwindigkeit $c$.

Für drei Vektoren $\boldsymbol{a}^{(1)}$, $\boldsymbol{a}^{(2)}$ und $\boldsymbol{b}$ bedeutet Distributivität $ \left(\boldsymbol{a}^{(1)}+\boldsymbol{a}^{(2)})\cdot\boldsymbol{b}~=~\boldsymbol{a}^{(1)}\cdot\boldsymbol{b} + \boldsymbol{a}^{(2)}\cdot\boldsymbol{b} $

Unendlichkeiten in der störungstheoretischen Berechnung von Amplituden
(S-Matrixelementen), verursacht durch unbekannte Physik bei kleinsten Distanzen (höchsten Energien). Renormierungsprogramm verschiebt diese unbekannte Struktur in Massen und Kopplungskonstanten, die experimentell bestimmt werden müssen
(Kap. 6).

$\mathop{div}\mathop{grad}\varphi=\sum\limits_{j=1}^{3}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x_{j}^{2}}\equiv\Delta\varphi\;,$ wobei $\Delta\equiv\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{3}^{2}}$ der Laplace-Operator genannt wird.

Für einen Vektor $\mathfrak{A}$ mit der Darstellung $(A_r, A_\vartheta, A_\varphi)$ in Kugelkoordinaten gilt \begin{equation} \mathrm{div} \mathfrak{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial (r^2 A_r)}{\partial r} + \frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial (\sin \vartheta A_\vartheta)}{\partial \vartheta} + \frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}. \end{equation}

Doppelbrechendes Material ist anisotrop und besitzt dadurch zwei verschiedene Brechungsindizes, den ordentlichen $n_\mathrm{o}$ und den außerordentlichen $n_\mathrm{ao}$. Welchen der beiden das einfallende Licht „sieht“, hängt von dessen Polarisation ab, und auch von der Richtung, wie es auf den Kristall trifft.

Konstruktive Interferenz tritt auf, wenn die Wellen gleichphasig schwingen, also einen Gangunterschied $\Delta s$ von null oder ganzzahligen Vielfachen ($n\lambda$) der Wellenlänge besitzen. Destruktive Interferenz hingegen entsteht bei gegenphasiger Schwingung, also einem Gangunterschied $\Delta s$ von ungeraden ganzzahligen Vielfachen von $\frac{\lambda}{2}$.

Wenn der Impuls des Teilchens $\vec{p} = m\,\vec{v}$ ist, dann hat das Teilchen einen Drehimpuls $\vec{L}$ bezüglich des Ursprungs, den man als das Vektorprodukt von $\vec{r}$ und $\vec{p}$ definiert: \begin{equation} \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} \end{equation}

Der Drehimpuls $\vec L$ ist im ''Rotationsland'' das Analogon zum Impuls:$$ \vec L = \vec r \times \vec p = rp \sin(\alpha)\,.$$ Der Drehimpuls ist wie der Impuls oder die Energie eine Erhaltungsgr&#246&#223e: $$ \vec L = \text{const.}$$

$\boldsymbol{L}=\sum_{n=1}^{N}m_{n}\boldsymbol{r}_{n}\times\dot{\boldsymbol{r}}_{n} = \sum_{n=1}^{N}m_{n}\boldsymbol{r}_{n}\times(\boldsymbol{{\omega}}\times\boldsymbol{r_{n}})$

\begin{equation} \vec{L}_\mathrm{Bahn} = m\,\vec{r}_\mathrm{S} \times \vec{v}_\mathrm{S} \end{equation}

Wenn das gesamte auf ein System wirkende äußere Drehmoment bezüglich eines Punkts null ist, dann ist der Drehimpuls des Systems bezüglich dieses Punkts konstant.

Wenn der Drehimpuls eines punktförmigen Teilchens bezüglich des Ursprungs $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ ist, so ist der Drehimpuls bezüglich der $z$-Achse: \begin{equation} \vec{L}_z = \vec{r}_\bot \times \vec{p}_{xy} \end{equation} Dabei ist $\vec{p}_{xy}$ die Komponente des linearen Impulses $\vec{p}$ senkrecht zur $z$-Achse ($\vec{p}_{xy} = \vec{p} - p_z\,\hat{e}_z$).

Der Drehimpulssatz eines Systems von Punktmassen, zwischen denen nur Zentralkräfte wirken, lautet \begin{equation} \dot{ \boldsymbol{L}} = \sum_i \boldsymbol{M}^{(\mathrm{a})}_i = \boldsymbol{M}^{(\mathrm{a})}. \end{equation} Der Gesamtdrehimpuls dieses Systems wird lediglich von den äußeren Kräften bzw. äußeren Drehmomenten beeinflusst. Verschwindet das Gesamtdrehmoment der äußeren Kräfte, so ist der Gesamtdrehimpuls des Systems erhalten.

In einem System, in dem keine &#228u&#223eren Drehmomente wirken, ist der Gesamtdrehimpuls erhalten.

$\boldsymbol{M}=(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F})$ folgt aus der Ableitung des Drehimpulses: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{L}=\boldsymbol{M}\;.$ Diese Gleichung dr&#252ckt den Drehimpulssatz aus: Die zeitliche &#196nderung des Drehimpulses entspricht dem Drehmoment. Ist das Drehmoment identisch Null, so wird aus dem Drehimpulssatz der Drehimpulserhaltungssatz: $ \boldsymbol{M}=0\Leftrightarrow\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{L}=0\;; \boldsymbol{L}=\mathrm{const}\;.$

$\boldsymbol{M}=\sum_{n=1}^{N}\boldsymbol{r_{n}}\times\boldsymbol{F}_{n}
$

\begin{equation} \vert\vec{M}\vert = \vert\vec{r}\vert\,\vert\vec{F}\vert\,\sin\varphi \end{equation}

\begin{equation} \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} \end{equation}

Das Drehmoment, das von einem Kräftepaar erzeugt wird, ist bezüglich jedes Punkts im Raum gleich.

\begin{equation} \Delta \vec{L} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{M}_\mathrm{ext}\,\mathrm{d} t \end{equation}

\begin{equation} v_\mathrm{t} = r\,\omega \end{equation} Dabei ist $v_\mathrm{t}$ die Tangentialgeschwindigkeit des Seils und $r\,\omega$ die Tangentialgeschwindigkeit des Radrands.

Die ortsabhängige Orthonormalbasis $\left(\boldsymbol{t}, \boldsymbol{h}, \boldsymbol{b}\right)$ mit $$\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\gamma}' \,,\qquad \boldsymbol{h} = \frac{1}{\kappa(s)}\boldsymbol{t}' \,,\qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{t} \times \boldsymbol{h}$$ heißt begleitendes Dreibein der Kurve $\gamma$

Wenn die innere Energie eines Systems gegen null oder ihren kleinstm&#246glichen Wert geht, wird die Entropie des Systems verschwinden, weil sich das System dann nur noch in seinem Grundzustand aufhalten kann. Zugleich wird auch die Temperatur gegen null gehen: $$ S\to0\quad\hbox{wenn}\quad T\to0\,. \label{eq:td02-131} $$ Diese Aussage wird gelegentlich als dritter Hauptsatz der Thermodynamik oder auch als Nernst'sches Theorem bezeichnet.

Für zwei Körper, die nur miteinander, aber nicht mit anderen Körpern wechselwirken, gilt das 3. Newtonsche Axiom: actio = reactio: $\boldsymbol{F}_{1}=-\boldsymbol{F}_{2}$, wenn $\boldsymbol{F}_{1}$ die Kraft, die auf den 1. Körper, $\boldsymbol{F}_{2}$ die Kraft, die auf den 2. Körper wirkt, bedeutet.

Viele Kosmologen bevorzugen die Vorstellung, dass die kosmologische Konstante eigentlich nicht konstant ist, sondern dass die beschleunigte kosmische Expansion, die durch die kosmologische Konstante erkl&#228rt werden k&#246nnte durch eine Substanz mit negativem Druck verursacht w&#252rde. Diese hypothetische Substanz wird als dunkle Energie bezeichnet. Sie muss durch eine Zustandsgleichung gekennzeichnet sein, derzufolge der Druck der dunklen Energie gen&#252gend negativ werden kann. Eine solche Erkl&#228rung durch ein dynamisches Feld h&#228tte den Vorzug, dass damit zumindest prinzipiell erkl&#228rbar w&#252rde, wie sich die Dichten der (dunklen) Materie und der dunklen Energie aufeinander einstellen k&#246nnten.

Die Feldgleichungen idealer, inkompressibler Fluide lauten \begin{eqnarray} 0 &=& \mathrm{div\,} \boldsymbol{u}, \\ \rho \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} &=& - \rho\, \mathbf{div\,} (\boldsymbol{u} \circ \boldsymbol{u}) - \mathbf{grad\,} P + \boldsymbol{f}, \end{eqnarray} wobei $\rho = \mathrm{const}$ die Zustandsgleichung ist.