Gesamtglossar aller Bücher

Ist $I=(a,b)$ ein beschränktes Intervall, $x_0\in I$ und $f,g:I\rightarrow\mathbb{R}$ differenzierbare Funktionen mit $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = \lim_{x\rightarrow x_0} g(x) = 0$ und $g(x) \neq 0, g'(x) \neq 0$ für alle $x\neq x_0$. Dann gilt $$\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$ falls der Grenzwert auf der rechten Seite existiert. Die selbe Aussage gilt, wenn $I=(a,\infty)$ und der Grenzwert $x\rightarrow \infty$ oder $I=(-\infty, b)$ und der Grenzwert $x\rightarrow -\infty$ betrachtet wird.

Wir bezeichnen mit $L=f+\sum_{j=1}^k \lambda_j g_j$ die Lagrange-Funktion zu einem Optimierungsproblem $$\min_{\boldsymbol{x}\in D} f(\boldsymbol{x})$$ mit einer Zielfunktion $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ und Nebenbedingungen $$D = \left\lbrace\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n \vert g_j(\boldsymbol{x})= 0\,, j= 1,\dots,k \right\rbrace$$ Ist $\hat{\boldsymbol{x}}\in D$ ein lokales Minimum der Funktion $f$ auf der Menge $D$ und sind die $k$ Gradienten $$\nabla g_1(\hat{\boldsymbol{x}}), \nabla g_2(\hat{\boldsymbol{x}}),\dots \nabla g_k(\hat{\boldsymbol{x}})$$ an der Stelle $\hat{\boldsymbol{x}}$ linear unabhängig, dann existieren Lagrage'sche Multiplikatoren $\hat{\lambda}_1, \dots, \hat{\lambda}_k \in \mathbb{R}$, sodass die $n+k$ Gleichungen mit \begin{eqnarray} \frac{\partial L}{\partial x_i} (\hat{\boldsymbol{x}}, \hat{\lambda}) &=& 0 \,,\qquad i=1,\dots,n\\ \frac{\partial L}{\partial \lambda_i} (\hat{\boldsymbol{x}}, \hat{\lambda}) &=& 0 \,,\qquad i=1,\dots,k \end{eqnarray} erfüllt sind.

$$L=L(\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}},t)=T(\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}},t)-U(\boldsymbol{q},t)$$ mit verallgemeinerten Koordinaten $\boldsymbol{q}$ bzw. $q_k$

Die Lagrange-Gleichungen für das dreidimensionale Feld $\boldsymbol{q}(t, \boldsymbol{r})$ lauten \begin{equation} \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} - \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial}{\partial r_j} \frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_j q_i)} = 0 \quad (i = x, y, z). \end{equation}

$\frac{d}{d t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=\sum_{\alpha}\lambda_{\alpha}\frac{\partial g_{\alpha}}{\partial q_{k}}$

Für ein System von $N$ Punktmassen unter dem Einfluss von $r$ unabhängigen holonomen Zwangsbedingungen $f_a(t, \boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_N)$ lauten die Lagrange-Gleichungen erster Art \begin{equation} m_i \ddot{\boldsymbol{x}}_i = \boldsymbol{F}_i + \sum_{a=1}^r \lambda_a \boldsymbol{\nabla}_i f_a \quad (1 \leq i \leq N) \end{equation} bzw. \begin{equation} m_i \ddot x_i = F_i + \sum_{a=1}^r \lambda_a \frac{\partial f_a}{\partial x_i} \quad (1 \leq i \leq 3 N) \end{equation} in der komponentenweisen Darstellung.

$\frac{d}{d t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=0$

Englische Bezeichnung für Lagrange-Dichte: Verallgemeinerung der Lagrange-Funktion der klassischen Mechanik in der Feldtheorie. Kompakte Darstellung einer (Quanten-)Feldtheorie, aus der die
Feldgleichungen abgeleitet werden können.

Es gilt: \begin{align}f(x) =& O\left(g(x)\right) \qquad\text{falls}\quad \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} \leq C \qquad 0 < C \in \mathbb{R}\nonumber\\ f(x) =& o\left(g(x)\right) \qquad\text{falls}\quad \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \end{align}

Der Laplace-Operator in $n$ Dimensionen hat in kartesischen Koordinaten die Form $$ \bigtriangleup = div \textbf{grad} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^2}{\partial x_k^2}$$

Der Laplace-Operator $\varDelta$, angewandt auf eine skalare Funktion $f$, hat in Kugelkoordinaten $(r, \vartheta, \varphi)$ die Gestalt: \begin{equation} \varDelta f = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} r^2 \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta} \sin \vartheta \frac{\partial f}{\partial \vartheta} + \frac{1}{r^2 \sin^2 \vartheta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}. \end{equation}

Das Kunstwort Laser steht für Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation. Ein Laser besteht im Wesentlichen aus drei Komponenten: \textbf{1)} Der Energiepumpe, die durch selektive Energiezufuhr in einem Medium eine Besetzungsinversion erzeugt; \textbf{2)} dem aktiven Medium, in dem bei einer Besetzungsinversion eine elektromagnetische Welle verstärkt wird; \textbf{3)} einem optischen Resonator, welcher die vom aktiven Medium emittierte Strahlungsleistung nur in wenigen Moden speichert. In diesen Moden muss die Strahlungsdichte so groß sein, dass die Wahrscheinlichkeit für induzierte Emission groß wird gegen die Wahrscheinlichkeit für spontane Emission.

Für ein starres Molekül lassen sich die elektronischen Wellenfunktionen $\Psi(\mathbf{r},\,R)$ und die Eigenwerte $E(R)$ als Funktion des Kernabstandes $R$ näherungsweise durch Linearkombinationen atomarer Wellenfunktionen bestimmen.

Die Funktionen $$P_n^m (x) = \left(1-x^2\right)^{m/2} \frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}x^m} P_n(x)$$ (mit $n\in\mathbb{N}$ und $m\in\mathbb{N}_0$ für $m\leq n$) heißen zugeordnete Legendre-Funktionen. Sie sind die Lösungen der Legendre-Gleichung $$\left(1-x^2\right)\, u'' - 2x\, u' \left( n(n+1) - \frac{m}{1-x^2}\right)\, u = 0$$

Das Leistungsspektrum eines Zufallsfeldes ist die Varianz seiner Fourier-Amplituden. Die Korrelationsfunktion ist die Fourier-Transformierte des Leistungsspektrums.

Die durch Induktion entstehenden Ströme, Felder und Kräfte sind so gerichtet, dass sie dem die Induktion verursachenden Vorgang entgegenwirken (Lenz´sche Regel).

Das Levi-Civita-Symbol $\epsilon_{ijk}$ ist durch $\epsilon_{123}:=1$ und die Vorschrift, dass es bei jeder Vertauschung zweier Indizes das Vorzeichen wechselt, definiert $\epsilon_{ijk}=-\epsilon{jik}=-\epsilon{kji}=\-epsilon{ikj}$

In allen Inertialsystemen ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (unabhängig vom Bewegungszustand der Quellen) gleich groß.

Das Lichtmikroskop ist ein optisches System aus zwei Linsen: dem Objektiv und dem Okular. Zwischen den Linsen befindet sich ein Tubus, dessen Tubusl&#228nge $t$ der Abstand der Brennebenen von Objektiv und Okular ist.

Eine Abbildung $\varphi : V \rightarrow W$ zwischen $\mathbb{K}$-Vektorräumen $V$ und $W$ heißt lineare Abbildung oder Homomorphismus, wenn für alle $\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in V$ und $\lambda \in K$ gilt:\begin{eqnarray} &\bullet& \varphi(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}) = \varphi(\boldsymbol{v}) + \varphi(\boldsymbol{w}) \quad\text{(Additivität)} \\ &\bullet& \varphi(\lambda \boldsymbol{v}) = \lambda \varphi(\boldsymbol{v}) \quad\text{(Homogenität)}\end{eqnarray}

$n$ Vektoren $\boldsymbol{a}_{1}$, $\boldsymbol{a}_{2}$, ..., $\boldsymbol{a}_{n}$ hei&#223en linear unabh&#228ngig, falls die Gleichung $\sum\limits_{j=1}^{n}\alpha_{j}\boldsymbol{a}_{j}=0$ nur durch $\alpha_{1}=\alpha_{2}={\ldots}=\alpha_{n}=0$ erf&#252llt werden kann. Andernfalls hei&#223en sie linear abh&#228ngig.

Eine zentrale Struktur in Vektorräumen sind Linearkombinationen, die in der Physik meistens Superpositionen genannt werden: $ \boldsymbol{c}~=~\lambda\boldsymbol{a} + \mu\boldsymbol{b}$

Das Linienintegral über ein Vektorfeld entlang eines beliebigen Weges hängt genau dann nur vom Anfangs- und Endpunkt dieses Weges ab, wenn die Rotation des Vektorfeldes identisch verschwindet.

Mit ihrer Hilfe lässt sich bestimmen, wie durch die Verwendung von Linsen Abbilder von Gegenständen erzeugt werden. Sie lautet $\frac{1}{g} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$ mit der Gegenstandsweite $g$, der Bildweite $b$ und der Brennweite der Linse $f$.

Eine zur Schr&#246dinger-Differenzialgleichung &#228quivalente Integralgleichung, die speziell zur Beschreibung des Streuproblems geeignet ist.

Auf eine elektrische Ladung in einem Magnetfeld wirkt die Lorentz-Kraft $$\vec{F_{\mathrm{L}}}=q\cdot(\vec{v}\times\vec{B})=I(\vec{l}\times\vec{B})\,.$$ F&#252r die Richtung der Lorentz-Kraft gilt die Drei-Finger-Regel der rechten Hand, wobei wir die technische Stromrichtung betrachten.

In Matrixform geschrieben lautet die Lorentz-Transformation von einem Inertialsystem $\mathcal S$ auf ein Inertialsystem $\mathcal S'$, das sich gegenüber $\mathcal S$ mit Geschwindigkeit $v=\beta\, c$in positiver $x$-Richtung bewegt: \begin{equation} \left( \begin{array}{c} c t^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array} \right) = \underbrace{\left( \begin{array}{cccc} \gamma & - \beta\gamma & 0 & 0 \\ - \beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)}_{\boldsymbol{\Lambda}(v)} \; \left( \begin{array}{c} c t \\ x \\ y \\ z\end{array} \right), \end{equation} mit den gebräuchlichen Abkürzungen $\beta:=\frac{v}{c},\qquad \gamma:=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$.

Auf eine mit der Geschwindigkeit $\boldsymbol{v}$ in einem elektrischen Feld $\boldsymbol{E}$ und einemmagnetischen Feld $\boldsymbol{B}$ bewegte Probeladung $q$ wirkt die Lorentzkraft: $\boldsymbol{F}=q\,(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})$.