| Begriff | Erklärung |
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Jacobi-Determinante, Volumenelemente unter Koordinatentransformationen Quelle: Theoretische Physik 1 - Mechanik |
Beim Übergang von kartesischen Koordinaten $x_i$ zu allgemeinen Koordinaten $q_j$ erfüllt das Volumenelement $\mathrm{d} V = \mathrm{d} x_1\, \mathrm{d} x_2\, \mathrm{d} x_3 = (\det \boldsymbol{J})\, \mathrm{d} q_1\, \mathrm{d} q_2\, \mathrm{d} q_3, $ wobei $ \boldsymbol{J}$ die zugehörige Jacobi-Matrix ist. Die Größe $\det \boldsymbol{J}$ nennt man die Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante, mit der häufigen Schreibweise \begin{equation} \det \boldsymbol{J} = \det \left(\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\right). \end{equation} |
Jacobi-Determinanten, Zylinder- und Kugelkoordinaten Quelle: Theoretische Physik 1 - Mechanik |
Die Jacobi-Determinanten für Zylinder- und Kugelkoordinaten braucht man selbstverständlich nur einmal auszurechnen. Die Ergebnisse $\det \boldsymbol{J} = \varrho $ für Zylinderkoordinaten und $ \det \boldsymbol{J} = r^2 \sin \vartheta $ für Kugelkoordinaten kann man dann für alle entsprechenden Rechnungen direkt verwenden. |
Jacobi-Matrix Quelle: Theoretische Physik 1 - Mechanik |
Die durch $ J_{ij} := \partial_{q_j} x_i $ definierte Matrix einer Koordinatentransformation $q_i(x_j)$ mit Umkehrung $x_i(q_j)$ heißt Jacobi-Matrix der Koordinatentransformation. Häufig schreibt man auch \begin{equation} \boldsymbol{J} = \frac{\partial(x_1, x_2, x_3)}{\partial (q_1, q_2, q_3)}. \end{equation} |
Jacobi-Matrix |
Die Matrix $ J~:=~\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}$ aus den Ableitungen der alten Koordinaten $(x,y)$ nach den neuen Koordinaten $(u,v)$ heißt Jacobi-Matrix. |
Jacobi-Matrix |
Die Jacobi-Matrix eines vektoriellen Feldes $\boldsymbol{K}$ besteht aus seinen partiellen Ableitungen bezüglich der Koordinatenbasis. Sie ist für dreidimensionale kartesische Koordinaten definiert als $$ \boldsymbol{J}_{\boldsymbol{K}}:= \begin{pmatrix} \frac{\partial K_x}{\partial x} & \frac{\partial K_x}{\partial y} & \frac{\partial K_x}{\partial z} \\ \frac{\partial K_y}{\partial x} & \frac{\partial K_y}{\partial y} & \frac{\partial K_y}{\partial z} \\ \frac{\partial K_z}{\partial x} & \frac{\partial K_z}{\partial y} & \frac{\partial K_z}{\partial z} \end{pmatrix} $$ |
Joule-Thomson-Prozess |
Bei einem sogenannten Joule-Thomson-Prozess bleibt die Enthalpie des Gases erhalten. Demnach muss gelten: $$ \mathrm{d} H=T\mathrm{d} S+V\mathrm{d} P=0\,. \label{eq:td03-157} $$ |
Springer Lehrbuch Physik