Inhaltsübersicht
1. Induktive Begründung der Wellenmechanik
2. Schrödinger-Gleichung
3. Grundlagen der Quantenmechanik (Dirac-Formalismus)
4. Einfache Modellsysteme
Kapitel 1: Induktive Begründung der Wellenmechanik
Wir präsentieren in diesem Kapitel eine kritische Betrachtung der vorquantenmechanischen Zeit. Es geht uns dabei natürlich nicht so sehr um historische Strenge als vielmehr um eine physikalische Analyse der Probleme und Herausforderungen, die sich dem Wissenschaftler um die Jahrhundertwende stellten und letztlich die Entwicklung der Quantenmechanik in der noch heute gültigen und erfolgreichen Form erzwangen. Der didaktische Wert einer solchen historischen Einführung kann durchaus unterschiedlich eingestuft werden. Der Leser, der sich ohne Umschweife mit den quantenmechanischen Prinzipien und Konzepten beschäftigen will, sollte dieses Kapitel überschlagen und direkt mit Kap. 2 beginnen. Obwohl Kap. 1 also in gewisser Weise nur als Einführung oder Einstimmung in die Problematik gedacht ist, wollen wir jedoch auch hier nicht von der Grundabsicht dieses Grundkurs: Theoretische Physik abgehen und so weit wie möglich die wichtigen Zusammenhänge so detailliert darstellen, daß sie ohne Zuhilfenahme von Sekundärliteratur verstanden werden können.
Kapitel 2: Schrödinger-Gleichung
Die zentrale Bewegungsgleichung der Quantenmechanik ist die Schrödinger-Gleichung, die allerdings nicht mathematisch streng aus ersten Prinzipien abgeleitet werden kann, sondern mehr oder weniger approximativ eingeführt werden muß. Bei ihrer Begründung kann man sich jedoch von der Vorstellung leiten lassen, daß die Quantenmechanik als übergeordnete Theorie zu verstehen ist, die die makrospkopisch korrekte Klassische Mechanik als entsprechenden Grenzfall enthält. Von der klassischen Seite macht insbesondere die Hamilton-Jacobi-Theorie (Kap. 3, Bd. 2) eine solche Korrespondenz deutlich. Mechanisch-optische Analogiebetrachtungen weisen der Klassischen Mechanik im Rahmen der Quantenmechanik die Rolle zu, die die geometrische Optik in der allgemeinen Lichtwellentheorie spielt. Wir wollen uns deshalb zu Beginn dieses Kapitels noch einmal in Erinnerung rufen, wie die klassische Hamilton-Jacobi-Theorie über ihr Wirkungswellenkonzept die Schrödinger-Gleichung plausibel werden läßt und erste Hinweise auf den Teilchen- Welle-Dualismus der Materie liefert.
Kapitel 3: Grundlagen der Quantenmechanik (Dirac-Formalismus)
Das letzte Kapitel zeigte unter anderem, daß Orts- und Impulsdarstellung (s.Abschn. 2.3.1) völlig äquivalente Beschreibungender Quantenmechanikdarstellen. Je nach Zweckmäßigkeit können wir uns für die eine oder die andere entscheiden. Wir hatten bereits als Ursache dafür vermutet, daß es eine abstrakte, übergeordnete und allgemeine Formulierung der Quantenmechanik geben muß, für die Ortsund Impulsdarstellung lediglich zwei von mehreren möglichen Realisierungen sind. Um diese übergeordnete Struktur soll es in diesem Kapitel gehen. Während wir in Kap. 1 mehr oder weniger qualitativ die Quantenmechanik induktiv begründet haben, wollen wir nun den entgegengesetzten, deduktiven Weg einschlagen. Wir werden die fundamentalen Prinzipien axiomatisch einführen und daraus die mit dem Experiment vergleichbaren Aussagen ableiten. Das entspricht der sogenannten Dirac-Formulierung der Quantenmechanik.
Kapitel 4: Einfache Modellsysteme
Nachdem wir uns im vorangegangenen Kapitel das abstrakte Gerüst der Quantenmechanik erarbeitet haben, wollen wir nun diese allgemeinen theoretischen Überlegungen unterbrechen und einige spezielle Anwendungen diskutieren. Dabei beschränken wir uns auf die Betrachtung von Bewegungsabläufen in einer Dimension, d. h. auf eindimensionale Potentiale V(q). Zum einen tun wir dies aus Gründen mathematischer Einfachheit, um den bislang erlernten Formalismus möglichst direkt üben zu können, ohne allzu sehr von in diesem Zusammenhang irrelevanten, rein mathematischen Schwierigkeiten abgelenkt zu werden. Zum anderen sind viele der typisch quantenmechanischen Phänomene inder Tat praktisch voneindimensionaler Natur. Physikalische Abläufe im dreidimensionalen Raum lassen sich, wie wir noch ausführlich diskutieren werden, häufig durch sogenannte Separationsansätze für die gesuchte Wellenfunktion mit effektiv eindimensionalen Bewegungsgleichungen beschreiben. Dabei muß die verbleibende Variable nicht notwendig die Dimension einer Länge haben; es kann sich zum Beispiel auch um einen Winkel oder ähnliches handeln. Wir werden deshalb in diesem Kapitel, um den allgemeineren Aspekt anzudeuten, für die Variable des Potentials stets den für generalisierte Koordinaten üblichen Buchstaben q verwenden.