Zusammenfassung: Theoretische Physik 3 | Quantenmechanik

Ein Verständnis der modernen Naturwissenschaften ist ohne Kenntnis der Quantenmechanik, deren Grundgleichungen das Verhalten mikroskopischer Objekte beschreibt, unmöglich. Ohne Quantenmechanik gäbe es kein Verständnis der Eigenschaften von Molekülen, Atomen, Atomkernen und Elementarteilchen oder von Halbleitern und Lasern. Ohne Quantenmechanik könnten wir auch nicht begreifen, warum die Sonne schon mehrere Milliarden Jahre Energie ausstrahlt. Die Quantentheorie darf wohl zu Recht als eine der größten naturwissenschaftlichen Errungenschaften des 20. Jahrhunderts angesehen werden – revolutionär und von großem praktischen Nutzen.

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts ergaben sich in der Physik grundlegende Umwälzungen, die schließlich zur Relativitätstheorie und Quantenmechanik führten. Dabei wurden auf der atomaren bzw. subatomaren Skala die klassischen Gesetze durch die Gesetze der Quantenmechanik abgelöst. Von diesen Gesetzen und ihren Anwendungen handelt der dritte Teil des Buches. Viele atomare und molekulare Vorgänge werden bereits durch die nichtrelativistische Quantenmechanik erklärt, und auf diese werden wir uns im Folgenden beschränken. Dieses Kapitel beschreibt die Entstehung der Quantenmechanik. Besondere Beachtung findet dabei das Planck’sche Gesetz für die Hohlraumstrahlung, der Welle-Teilchen-Dualismus und Schlüsselexperimente, die schon früh Probleme der klassischen Physik offenbarten.

Kapitel 2: Wellenmechanik

Verglichen mit der klassischen Physik betritt man in der Quantenmechanik begrifflich ein Neuland. Aufgrund des Welle-Teilchen-Dualismus ist es in der Quantenmechanik z. B. unmöglich, einem Teilchen gleichzeitig einen festen Ort und einen festen Impuls zuzuordnen. Wir können nur noch Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Ort und Impuls angeben.

Diese sind aber nicht unabhängig, da mit zunehmender Lokalisierung des Teilchens im Ortsraum die Unsicherheit über seinen Impuls zunimmt und umgekehrt. Als Folge werden wir in der Quantenmechanik auf die eindeutige Objektivierbarkeit der Vorgänge verzichten müssen, und die Gesetze werden die Form statistischer Gesetze annehmen.

In der Schrödinger’schen Wellenmechanik wird dem materiellen Teilchen oder einem allgemeineren physikalischen System eine zeit- und ortsabhängige Wellenfunktion ψ zugeordnet, der die Rolle einer Wahrscheinlichkeitsamplitude zukommt. Zu jeder Zeit beschreibt sie den Zustand des Systems. Sie hat selbst keine anschauliche Bedeutung, aber |ψ|2 beschreibt die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die verschiedenen möglichen Lagen des Systems gemessen werden. Aus ψ lassen sich auf diese Weise die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von beobachtbaren Größen, z. B. der Orte und Impulse, berechnen. Die Wellenfunktion erfüllt die Schrödinger-Gleichung, deren Lösungen das zeitliche Verhalten des Systems beschreiben.

Kapitel 3: Formalismus der Quantenmechanik

In der Quantentheorie gilt das Superpositionsprinzip exakt für abgeschlossene Systeme. Das bedeutet erstens, dass sich beliebige Zustände – in der Wellenmechanik dargestellt durch Wellenfunktionen – zu einer bestimmten Zeit mit beliebigen komplexen Koeffizienten superponieren lassen und dadurch einen neuen möglichen Zustand definieren, und zweitens, dass jede Superposition von Lösungen der Schrödinger-Gleichung ebenfalls eine Lösung ist. Die zweite Eigenschaft ist gleichbedeutend mit der Forderung, dass die Schrödinger-Gleichung linear ist. In der Quantenphysik kann man Zustände überlagern, die in der klassischen Physik als vollkommen getrennt behandelt würden. Ein Elektron kann in einem Zustand sein, der eine Mischung aus „hier“ und „dort“ darstellt, in dem es also keinen eindeutig definierten Ort hat. Der Raum der Wellenfunktionen bildet also einen linearen Raum, einen Vektorraum. Man spricht in diesem Zusammenhang vom Raum der Zustandsvektoren in der Ortsdarstellung.

Die Wellenfunktion selbst hat in der in Abschn. 4.1 vorgestellten Standardinterpretation der Quantenmechanik keine physikalische Bedeutung, aber ihr Betragsquadrat ist proportional zu einer Wahrscheinlichkeitsdichte. Diese Interpretation verlangt, dass das Betragsquadrat integrierbar sein muss, und diese Bedingung versieht den linearen Raum der Zustandsvektoren mit einem Skalarprodukt. Wir werden annehmen, dass der Vektorraum eine Basis besitzt und unendlich-dimensional sein kann. Vektorräume mit dieser Eigenschaft nennt man Hilbert-Räume.

Kapitel 4: Observablen, Zustände und Unbestimmtheit

Wegen ihres beispiellosen und überwältigenden empirischen Erfolgs ist die Quantenmechanik eine der am besten gesicherten physikalischen Theorien überhaupt. Gleichzeitig wirft sie aber viele tiefgründige konzeptionelle Probleme auf. Die Frage, wie sie zu interpretieren sei, wird seit Beginn kontrovers diskutiert – es gibt bis heute keine universell akzeptierte Interpretation der Quantenmechanik. Viele fundamentale Fragen wie z. B. nach der Rolle des Beobachters beim Messprozess, der Überlagerung von makroskopisch unterscheidbaren Zuständen, der Nichtlokalität von Korrelationen oder des Indeterminismus der Quantenmechanik werden nach wie vor lebhaft diskutiert. Die Formulierung einer konsistenten Interpretation des mathematischen Formalismus oder sogar einer alternativen Theorie der mikroskopischen Erscheinungen kann deshalb durchaus als sinnvoller, wenn nicht notwendiger Bestandteil einer Quantentheorie angesehen werden, obwohl sich unter Umständen Fragen nach „der korrekten Interpretation“ weder mit experimentellen noch mit theoretischen Methoden der Physik beantworten lassen. In Lehrbüchern findet man beinahe ausnahmslos die von vielen Physikern bevorzugte Kopenhagener Interpretation (auch orthodoxe oder Standardinterpretation genannt) – trotz des darin enthaltenen schwierigen Komplementaritätsprinzips. Aber es sollte an dieser Stelle betont werden, dass uns bis zum heutigen Tage keine Tatsache bekannt ist, nach der die Kopenhagener Interpretation überholt wäre.

Kapitel 5: Zeitentwicklung und Bilder

Kapitel 6: Eindimensionale Quantensysteme

In diesem Kapitel untersuchen wir Lösungen der stationären Schrödinger-Gleichung für eindimensionale Systeme. Metallische Nanodrähte sind in guter Näherung ein Beispiel hierfür. Oft können auch dreidimensionale Systeme mit Symmetrien anhand von Symmetrieüberlegungen auf eindimensionale Systeme reduziert werden. Ein bekanntes Beispiel ist die Schrödinger-Gleichung für ein Elektron im Coulomb-Potenzial: Nutzt man die Drehsymmetrie aus, dann reduziert sich die Gleichung in drei Dimensionen auf ein eindimensionales Problem für die Radialbewegung.

Eindimensionale Systeme sind auch interessant, weil sie bereits einige unerwartete Effekte, wie z. B. das Überwinden von klassisch unüberwindbaren Barrieren, illustrieren: Nach den Gesetzen der klassischen Physik kann eine rollende Kugel einen Wall nur dann überwinden, wenn ihre anfängliche Bewegungsenergie größer ist als die aus der Höhe des Walles sich ergebende potenzielle Energie. Nach den Gesetzen der Quantenphysik kann ein Teilchen jedoch einen Potenzialwall mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit durchdringen, ohne die zu seiner Überwindung notwendige Energie zu besitzen. Die Eigenschaft, dass Teilchen in klassisch verbotene Gebiete eindringen können, nennt man Tunneleffekt.

Kapitel 7: Symmetrien und Erhaltungssätze

Symmetrien – man spricht von Raumzeitsymmetrien, wenn auch die Raumzeitkoordinaten transformiert werden, und sonst von inneren Symmetrien – spielen in der Physik eine herausragende Rolle. Beispiele von Raumzeitsymmetrien sind Spiegelungen, Translationen oder Drehungen im Raum. Innere Symmetrien sind z. B. die Ladungsumkehr oder die verallgemeinerten Phasentransformationen in der Elementarteilchenphysik (siehe Kasten „Vertiefung: (S)U(N)-Eichtransformationen“ in Kap. 9 und das Ende von Bd. 2, Kap. 10).

Nach dem aus Bd. 1, Abschn. 5.6 bekannten Noether-Theorem gehört zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines klassischen Systems ein Erhaltungssatz. So folgt aus der Homogenität der Zeit die Erhaltung der Energie, aus der Homogenität des Raumes die Erhaltung des gesamten Impulses, aus der Isotropie des Raumes die Erhaltung des gesamten Drehimpulses und aus den inneren Symmetrien die Erhaltung der elektrischen Ladung oder der Baryonenzahl.

Kapitel 8: Zentralkräfte - Das Wasserstoffatom

Kapitel 9: Elektromagnetische Felder und der Spin

In Kap. 2 wurde bereits kurz angesprochen, wie elektromagnetische Felder in der Quantenmechanik zu berücksichtigen sind. In diesem Kapitel werden wir darauf nun genauer eingehen und sowohl allgemeine Prinzipien als auch spezielle Beispiele dazu diskutieren; insbesondere werden wir in Abschn. 9.1 zunächst die Bedeutung der Potenziale untersuchen, die ja in der klassischen Physik nicht direkt beobachtbare Größen sind.

Vor allem der Einfluss von Magnetfeldern, insbesondere der Zeeman-Effekt (Abschn. 9.2), ist in vielen physikalischen Situationen wichtig – nicht nur in der Astrophysik, wo damit die Stärke des Magnetfeldes auch bei weit entfernten astronomischen Objekten bestimmt werden kann, sondern beispielsweise wohl auch bei Zugvögeln: Laut einer gegenwärtigen Hypothese läuft eine chemische Reaktion in Cryptochrommolekülen in den Augen dieser Vögel je nach Orientierung zum Erdmagnetfeld unterschiedlich ab; auf diese Weise können die Vögel das Magnetfeld also direkt „sehen“ und sich daran orientieren.

Sowohl eine genaue Betrachtung des Zeeman-Effekts als auch andere experimentelle Ergebnisse, wie beispielsweise die aus dem bekannten Stern-Gerlach-Versuch, führen allerdings zu der Erkenntnis, dass bei Elektronen außer ihrer elektrischen Ladung auch das magnetische Moment, das von ihrem Spin herrührt, zu berücksichtigen ist. Der Rest des Kapitels beschäftigt sich deshalb mit der konkreten rechnerischen Behandlung dieses Spins.

Kapitel 10: Störungstheorie und Virialsatz

Bisher wurden fast nur exakt lösbare Systeme besprochen; allerdings wurde auch schon mehrfach darauf hingewiesen, dass viele Probleme nur näherungsweise lösbar sind. In der Quantenmechanik werden daher diverse Näherungsverfahren verwendet; das wichtigste, die Störungstheorie, soll in diesem Kapitel besprochen werden. Weitere Verfahren werden in Kap. 11 diskutiert.

Die Störungstheorie geht davon aus, dass das betrachtete System weitgehend mit einem exakt lösbaren System übereinstimmt und sich nur durch eine kleine „Störung“ davon unterscheidet. Was genau darunter zu verstehen ist, wird im Folgenden noch zu präzisieren sein.

Zu unterscheiden ist dabei einerseits zwischen zeitabhängigen und -unabhängigen Störungen, andererseits zwischen Systemen mit entarteten bzw. nichtentarteten Zuständen. Als ein wichtiges Beispiel für eine zeitunabhängige Störung, bei der die Entartung nicht wesentlich ist, werden wir die schon früher erwähnte Spin-Bahn-Kopplung studieren. Bei der Wirkung eines homogenen elektrischen Feldes auf Atome (Stark-Effekt) ist dann die Entartung zu berücksichtigen (Abschn. 10.1).

Sowohl für die Störungstheorie als auch für andere Methoden (die wir in Kap. 11 besprechen werden) ist es oft nötig, Erwartungswerte des Hamilton-Operators oder ähnlicher Operatoren zu berechnen. Deshalb werden in Abschn. 10.2 allgemeine Aussagen über solche Erwartungswerte vorgestellt.

Kapitel 11: Mehrteilchensysteme und weitere Näherungsmethoden

In Kap. 8 wurde das nichtrelativistische Wasserstoffatom ausführlich behandelt. Nach Abspaltung der Schwerpunktsbewegung vereinfacht es sich auf ein exakt lösbares Einkörperproblem. Berücksichtigt man allerdings die relativistische Spin-Bahn-Kopplung oder wird ein äußeres Feld angelegt, so können die Energieniveaus und Eigenfunktionen des Wasserstoffatoms nur mit Näherungsmethoden berechnet werden (Kap. 10).

Bereits das Heliumatom und erst recht größere Atome und Moleküle entziehen sich aber selbst ohne Berücksichtigung relativistischer Korrekturen oder äußerer Felder einer exakten Behandlung. Ihre Eigenschaften können nur, z. B. mithilfe der Störungstheorie (Kap. 10), näherungsweise berechnet werden. In diesem Kapitel werden wir weitere Methoden kennenlernen, um die Dynamik von solchen Mehrteilchensystemen zu behandeln.

Hierzu wird in Abschn. 11.1 zunächst der mathematische Formalismus diskutiert, der zur Behandlung solcher Systeme nötig ist. Als Beispiel dazu wird die Van-der-Waals-Wechselwirkung zwischen neutralen Atomen diskutiert. Insbesondere die in der klassischen Physik unbekannte Ununterscheidbarkeit von Teilchen führt aber zu Komplikationen und schließlich zur Einteilung aller bekannten Teilchen in Fermionen und Bosonen, die sich fundamental unterschiedlich verhalten. Dies zeigt sich beim Pauli’schen Ausschlussprinzip, das eine einfache Anwendung bei der Unterscheidung zwischen Ortho- und Parahelium findet.

Kapitel 12: Streutheorie

Streuexperimente sind ein wichtiges Werkzeug zur Untersuchung von physikalischen Objekten, z. B. Festkörpern, Molekülen, Atomen, Atomkernen und Elementarteilchen. Man kann die Streuung von Teilchen oder von Strahlung an Objekten benutzen, um die Struktur dieser Objekte zu untersuchen und besser zu verstehen. Die Berechnung und Analyse solcher Streuprozesse ist ein wesentlicher Anwendungsbereich der Elektrodynamik, Quantenmechanik und ihrer Verallgemeinerung, der Quantenfeldtheorie.

Ein klassisches Beispiel ist die Elektronenstreuung an Atomkernen. In diesem Fall ist die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen Elektronen und Ladungs- sowie Magnetisierungverteilung des Kerns bekannt, und man erhält Aufschluss über die elektromagnetische Struktur des Kerns. Andererseits können Streuprozesse auch verwendet werden, um etwas über die zugrunde liegende Wechselwirkung zu lernen. Ein Beispiel ist die Nukleon-Nukleon-Streuung, aus der man viel über die Kernkräfte erfahren kann.