Inhaltsübersicht
3. Vollständige Funktionensysteme: Fourier-Transformation und Multipolentwicklung
4. Elektrische Felder in Materie
5. Magnetismus und elektrische Ströme
6. Ausbreitung elektromagnetischer Wellen
8. Relativistische Formulierung der Elektrodynamik
9. Abstrahlung elektromagnetischer Wellen
10. Lagrange- und Hamilton-Formalismus in der Elektrodynamik
Kapitel 1: Die Maxwell-Gleichungen
Die Elektrodynamik, die fundamentale Theorie, die elektrische und magnetische Felder miteinander untrennbar verknüpft, ist mit ihren vielfältigen Anwendungen aus unserer Zivilisation heutzutage nicht mehr wegzudenken. Bis zum Anfang des 19. Jahrhunderts kannte die Physik aber nur eine qualitative Phänomenologie von nicht miteinander in Beziehung gebrachten Erscheinungen von Elektrizität und Magnetismus. Dieses Gebiet war bis dahin wenig entwickelt und entsprechend wenig attraktiv für die theoretische Physik, jedenfalls im Vergleich zur klassischen Mechanik, die zu dieser Zeit bereits weitgehend ihre mathematische Vollendung erfuhr.
Ein entscheidender Entwicklungsschub fand in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts statt, nachdem 1820 der dänische Physiker Hans Christian Oersted (1777–1851) entdeckt hatte, dass elektrische Ströme Magnetfelder hervorrufen. Michael Faraday (1791–1867, Abb. 1.1) suchte und fand 1831 die umgekehrte Verbindung, nämlich dass veränderliche Magnetfelder Ströme verursachen können. Das von Faraday geprägte intuitive Bild von raumfüllenden Kraftlinien wurde vom schottischen Physiker James Clerk Maxwell (1831–1879, Abb. 1.2) aufgegriffen und 1855 in eine mathematisch konsistente Formulierung gebracht, die er in mehreren Veröffentlichungen ausarbeitete (Maxwell 1873). Darin wurde insbesondere eine Wellentheorie entwickelt, die eine Vereinigung von Optik und Elektrodynamik nahelegte. Der experimentelle Beweis wurde 1886 von Heinrich Hertz (1857–1894) durch die Entdeckung der elektromagnetischen Wellen geliefert.
Kapitel 2: Elektrostatik
Es war eine entscheidende intellektuelle Leistung der Physiker und Mathematiker des 19. Jahrhunderts, die elektrischen und magnetischen Phänomene in einer gemeinsamen Theorie, der Elektrodynamik, zu vereinigen und dabei dem Begriff von physikalischen Feldern zu einem Durchbruch zu verhelfen. Im Folgenden werden wir diese Vereinigung aber vorerst wieder aufheben, indem wir uns auf zeitunabhängige Probleme beschränken. Wenn Ladungen und Ströme zeitlich unveränderlich sind, zerfallen die Maxwell-Gleichungen in separate Gleichungen für elektrische und magnetische Felder, die unabhängig voneinander gelöst (und superponiert) werden können.
Die Gleichungen der Elektrostatik im Vakuum führen auf Problemstellungen, die denen der Newton’schen Gravitationstheorie ähnlich sind. Zusätzlich werden wir aber Randbedingungen an die elektrostatischen Felder diskutieren, insbesondere solche, die durch (perfekt) leitende Körper ins Spiel gebracht werden.
Die Methodik, mit der diese Fragestellungen behandelt werden können, ist die Potenzialtheorie, die ebenfalls im 19. Jahrhundert entwickelt wurde, insbesondere von den Mathematikern George Green (1793–1841) und Carl Friedrich Gauß (1777–1855).
Kapitel 3: Vollständige Funktionensysteme: Fourier- Transformation und Multipolentwicklung
Nach der Betrachtung der Grundgleichungen der Elektrodynamik und elektrostatischer Probleme in Kap. 1 und 2 werden wir nun einige mathematische Methoden kennenlernen, die nicht nur für die Elektrodynamik, sondern auch für viele andere Gebiete der theoretischen Physik große Bedeutung haben.
Wir bauen dafür zunächst auf den Fourier-Reihen auf, die wir in Bd. 1, Abschn. 8.3 kennengelernt haben. Die Idee der Fourier-Reihen kann man auf mehrere Weisen verallgemeinern. Einerseits gelangt man so zum Fourier-Integral, das in Abschn. 3.1 diskutiert wird. Zur eigentlichen Berechnung dieser Integrale benötigt man häufig einiges Grundwissen aus der komplexen Funktionentheorie, die auch in vielen anderen Bereichen der theoretischen Physik grundlegend ist; dieses wird in Abschn. 3.2 dargestellt.
Eine andere mögliche Verallgemeinerung führt zur Theorie der vollständigen Funktionensysteme mit der in der Elektrodynamik sehr wichtigen Anwendung der Multipolentwicklung, die im Rest des Kapitels dargestellt wird. Die vollständigen Funktionensysteme bilden außerdem auch eine der wichtigsten theoretischen Grundlagen für die Quantenmechanik.
Kapitel 4: Elektrische Felder in Materie
Die Maxwell-Gleichungen, wie wir sie bis jetzt diskutiert haben, sind fundamentale, auf mikroskopischem Niveau gültige Grundgleichungen. Sobald man es mit makroskopischen Körpern zu tun hat, sind die tatsächlichen auf atomarer oder molekularer Ebene vorliegenden Ladungsverteilungen natürlich viel zu komplex, als dass man direkt mit ihnen Berechnungen anstellen könnte. Zudem sind alle mikroskopischen Ladungsträger in permanenter thermischer Bewegung. Eine Beschreibung mit den Methoden der Elektrostatik kann also nur im Mittel gültig sein.
In Abschn. 4.1 werden wir eine entsprechende Mittelungsprozedur einführen und dabei finden, dass das Verhalten von Materie in Anwesenheit von elektrischen Feldern phänomenologisch durch Polarisationsfelder und dielektrische Verschiebungsfelder beschrieben werden kann. In Kap. 5 werden wir dann sehen, dass sich dieser Zugang auch auf die Magnetostatik und eine komplette makroskopische Elektrodynamik ausdehnen lässt.
Da Materie in der Wirklichkeit immer endliche Ausdehnung besitzt, kommt den Anschlussbedingungen an Grenzflächen von Materie eine wichtige Rolle zu. Diese werden in Abschn. 4.2 hergeleitet, bevor die Methoden der Potenzialtheorie in Abschn. 4.3 auf den Fall verallgemeinert werden, dass elektrisch polarisierbare Materie vorhanden ist. In Abschn. 4.4 wird diskutiert, wie sich Energiebetrachtungen in Anwesenheit von Materie im elektrostatischen Fall verallgemeinern; die endgültige Verallgemeinerung in der vollen Elektrodynamik ist Kap. 5 vorbehalten.
Kapitel 5: Magnetismus und elektrische Ströme
Obwohl bei elektrischen Strömen elektrische Ladungsträger in Bewegung sind, ergeben sich oft stationäre Situationen, bei denen die Phänomene des Magnetismus mit zeitunabhängigen Feldgleichungen beschrieben werden können. Dabei ist es natürlich wichtig, dass nicht die Bewegung der einzelnen Elementarladungen verfolgt wird, sondern Ströme durch Verschiebungen von kontinuierlichen Ladungsverteilungen auf makroskopischem Niveau beschrieben werden. Ändern sich diese Ströme nicht in der Zeit – weder in ihrer Stärke noch in ihrer Lage –, dann können magnetische Phänomene komplett unabhängig von elektrischen beschrieben werden, nämlich durch die Magnetostatik. Da hier die Quellen allerdings vektoriellen Charakter haben – Ströme haben ja eine Richtung –, ist die Magnetostatik gelegentlich etwas mühsamer als die Elektrostatik, aber es gibt auch viele Gemeinsamkeiten in der Methodik.
Wie schon in der Elektrostatik sind in vielen Anwendungen Polarisationseffekte der Materie zu berücksichtigen, die sich als Magnetisierung manifestieren. Diese kann – im Gegensatz zur Elektrostatik, wo Polarisation immer zu einer Abschwächung des elektrischen Feldes führt – sowohl abschwächend als auch verstärkend wirken. Extreme Verstärkungen treten durch das Phänomen des Ferromagnetismus auf, der entscheidenden Anteil an der technischen Bedeutung von Magnetismus hat. (Das Eröffnungsbild dieses Kapitels zeigt den gigantischen Magneten, der den ALICE-Detektor am Large Hadron Collider des CERN umschließt – mit geöffneten „Türen“ und vor Einbau des Detektors.)
Kapitel 6: Ausbreitung elektromagnetischer Wellen
Das Licht der Sterne erreicht uns aus großen Entfernungen durch das Vakuum des Weltalls; sehr lange war aber nicht klar, was Licht überhaupt ist und wie es sich durch das Vakuum ausbreiten kann. Maxwell äußerte bereits kurz nach Aufstellen seiner Gleichungen die Vermutung, dass es „elektromagnetische Wellen“ gäbe und Licht eine solche sei. Im Jahre 1886 bestätigte dann der deutsche Physiker Heinrich Hertz experimentell, dass elektromagnetische Wellen in der Tat existieren und sich auch genauso verhalten wie Lichtwellen (siehe auch Kap. 9).
Zunächst wurde jedoch noch davon ausgegangen, dass elektromagnetische Wellen (wie die schon bekannten mechanischen Wellen) ein Medium benötigen, um sich auszubreiten, dass also das gesamte Weltall mit einem „Äther“ ausgefüllt ist. In den folgenden Jahrzehnten ergaben sich aber zunehmend experimentelle Befunde gegen diese Annahme, und Einsteins spezielle Relativitätstheorie zeigte dann endgültig, dass ein Äther nicht nötig ist: Licht kann sich auch durch ein reines Vakuum ausbreiten.
Licht hat aber zahlreiche Wirkungen auf Materie. Eine besonders eindrucksvolle wird beim Eröffnungsbild dieses Kapitels sichtbar: Der Strahlungsdruck des Sonnenlichtes sorgt dafür, dass ein Komet nicht nur einen Schweif hat (der durch den Sonnenwind entsteht, also geladene Teilchen, die von der Sonne abgegeben werden), sondern auch noch einen zweiten sogenannten Strahlungsschweif.
Sowohl die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen im Vakuum als auch einige ihrer Wechselwirkungen mit Materie werden in diesem Kapitel genauer beleuchtet.
Kapitel 7: Optik
Die Optik beschäftigt sich speziell mit der Ausbreitung von Licht (die meisten ihrer Ergebnisse sind aber auch auf andere elektromagnetische Wellen übertragbar). In vielen Fällen genügt es dabei, davon auszugehen, dass Licht sich in Strahlen ausbreitet; der Wellencharakter des Lichtes kann vernachlässigt werden.
Dies ist insbesondere der Fall, wenn die charakteristischen Längen des betrachteten Problems (beispielsweise Durchmesser einer Blende oder Dicke einer Linse) sehr groß gegenüber der Wellenlänge des Lichtes sind: Dann sind typische Welleneffekte wie Beugung, Interferenz und Polarisation vernachlässigbar (Abschn. 7.1). Die Funktionsweise von üblichen optischen Geräten wie beispielsweise Teleskopen und Mikroskopen kann deshalb im Rahmen des Brechungs- und des Reflexionsgesetzes, die wir in Abschn. 7.2 besprechen werden, großenteils verstanden werden.
Diese Gesetze können rein mit der geometrischen Optik begründet werden, auch wenn sie letztlich auf dem Verhalten von Wellen beruhen, wie hier gezeigt werden wird. Auch Brechungserscheinungen in der Atmosphäre, die beispielsweise zu Luftspiegelungen und zur sogenannten astronomischen Refraktion führen, können rein im Rahmen der geometrischen Optik diskutiert werden – aber auch hier existiert ein enger Zusammenhang zur Wellenoptik, die sogenannte Eikonalgleichung (Abschn. 7.3).
Kapitel 8: Relativistische Formulierung der Elektrodynamik
Schon vor der Formulierung der speziellen Relativitätstheorie durch Einstein hatten Lorentz und Poincaré das Transformationsverhalten elektromagnetischer Felder unter einem Wechsel des Inertialsystems herausgefunden und waren dabei auf die Effekte der Lorentz-Kontraktion und sogar der Zeitdilatation gestoßen. Einsteins spezielle Relativitätstheorie und insbesondere der „Viererformalismus“ des Minkowski-Raumes, in dem das Newton’sche Konzept der absoluten Zeit aufgegeben wird, erlaubt es, die Maxwell-Gleichungen in eine elegante und auch praktische Lorentz-kovariante Form zu bringen, in der elektrische und magnetische Felder endgültig vereinheitlicht werden.
Zu diesem Zweck werden wir in Abschn. 8.1 zunächst die Vierernotation aus Bd. 1, Kap. 9 und 10 rekapitulieren und die wichtigsten Aspekte des Minkowski-Raumes in Erinnerung rufen. Falls diese Kapitel aus Bd. 1 übersprungen wurden, wäre nun auch ein guter Zeitpunkt, die spezielle Relativitätstheorie anhand der Bd. 1, Kap. 9 und 10 ausführlicher zu studieren.
Kapitel 9: Abstrahlung elektromagnetischer Wellen
Ende des 19. Jahrhunderts begann Heinrich Hertz (1857–1894), kurz zuvor zum Professor für Experimentalphysik am Polytechnikum in Karlsruhe berufen, mit elektromagnetischen Schwingungen in Spulen zu experimentieren. Es war bereits bekannt, dass es bei Spulen, die an einer Stelle unterbrochen sind, an dieser Stelle zu Funkenüberschlägen kommen kann.
Zufällig bemerkte Hertz bei seinen Untersuchungen, dass auch bei einer zweiten, mit der ersten nicht elektrisch verbundenen Spule Funken übersprangen. Damit waren erstmals elektromagnetische Wellen erzeugt und wieder empfangen worden, auch wenn das Hertz zu diesem Zeitpunkt wohl noch nicht bewusst war.
In der Folgezeit untersuchte er die Übertragung der Funken näher. Statt der Sendespule verwendete er bald nur noch zwei lange Drähte mit großen Kugeln als Ladungsspeicher an den voneinander abgewandten Enden und kleinen Kugeln an den einander zugewandten Enden; diese Anordnung bezeichnete er als „großen Oszillator“. Wurde an diese Anordnung eine Spule angeschlossen, in der elektromagnetische Schwingungen stattfanden, so sprangen zwischen den kleinen Kugeln periodisch Funken über – und eine elektromagnetische Welle wurde abgestrahlt.
Heutzutage verwendet man natürlich keine Funken mehr zur Erzeugung elektromagnetischer Wellen; in Worten wie „Funk“ ist aber der Ursprung dieser Technik immer noch erhalten geblieben. Das Eröffnungsbild des Kapitels zeigt eine Briefmarke, die von der Deutschen Post 1983 zur Feier dieser Entdeckung herausgegeben wurde.
Kapitel 10: Lagrange- und Hamilton-Formalismus in der Elektrodynamik
In der Mechanik (Bd. 1, Kap. 5 und 7) wurden zwei relativ abstrakte, aber auch sehr allgemeine Formalismen hergeleitet, mittels derer die Bewegungsgleichungen für ein gegebenes mechanisches System bestimmt werden können: der Lagrange- und der Hamilton-Formalismus. Diese sollen nun auch auf die Elektrodynamik erweitert werden.
Der Sinn ist nicht sofort einsichtig – in der Elektrodynamik sind die Bewegungsgleichungen ja immer dieselben und folgen direkt aus der Lorentz-Kraft. Die allgemeinen Formalismen haben dennoch mehrere Vorteile. Zunächst können alle physikalischen Gesetze der Elektrodynamik in einem Ausdruck zusammengefasst werden: Aus der Lagrange-Funktion erhält man mittels der Euler-Lagrange-Gleichungen alle Bewegungsgleichungen, ebenso aus der Hamilton-Funktion mittels der Hamilton-Gleichungen. Die Lagrange- und die Hamilton-Funktion beschreiben also jeweils die komplette Physik des Systems.
Außerdem fällt es bei der Formulierung mittels einer Lagrange-Funktion einfacher, allgemeine Prinzipien wie beispielsweise den Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungsgrößen (Noether-Theorem) zu studieren; auch dies wurde bereits in der Mechanik diskutiert. Und schließlich kann die Elektrodynamik, wenn sie auf diese Weise formuliert wird, leicht mit anderen Feldtheorien verglichen und auch verallgemeinert werden, beispielsweise zu den SU(N)-Eichtheorien der modernen Elementarteilchenphysik.