Glossar: Grundkurs Theoretische Physik 1 - Klassische Mechanik und mathematische Vorbereitungen

Als Kreuzprodukt: $ \hat{\boldsymbol{b}}(s)=\hat{\boldsymbol{t}}(s)\times\hat{\boldsymbol{n}}(s)\;.$

Sei $A=\left(a_{ij}\right)=\begin{pmatrix}a_{11} {\ldots} a_{1n}\\ \vdots \vdots\\ a_{n1} {\ldots} a_{nn}\\ \end{pmatrix}$ eine $(n\times n)$-Matrix. Dann definiert man als Determinante von $A$ die folgende Zahl: $\det A=\left|\begin{matrix}a_{11} {\ldots} a_{1n}\\ \vdots \vdots\\ a_{n1} {\ldots} a_{nn}\end{matrix}\right|=\sum\limits_{P}(\mathop{\text{sign}}P)\,a_{1p(1)}\cdot a_{2p(2)}\cdot{\ldots}\cdot a_{np(n)}\;.$

Die Ableitung ist eine lineare Abbildung: $$y=c\cdot f(x)\Rightarrow y^{\prime}=c\cdot f^{\prime}(x)\;,$$ $$y=f(x)+g(x)\Rightarrow y^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\;$$

$$y=\frac{f(x)}{g(x)}\;; g(x)\neq 0\Rightarrow y^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{g^{2}(x)}\;$$

$\mathop{div}\mathop{grad}\varphi=\sum\limits_{j=1}^{3}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x_{j}^{2}}\equiv\Delta\varphi\;,$ wobei $\Delta\equiv\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{3}^{2}}$ der Laplace-Operator genannt wird.

$\boldsymbol{L}=m\,\left(\boldsymbol{r}\times\dot{\boldsymbol{r}}\right)=\left(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}\right)$

$ E=\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol{r}}^{2}+\,V(\boldsymbol{r})\;.$ Diese Gleichung ist der Energiesatz: Die zeitliche &#196nderung der Energie ist gleich der Leistung der dissipativen Kr&#228fte. Sind alle Kr&#228fte konservativ, so gilt der Energieerhaltungssatz. $\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol{r}}^{2}+V(\boldsymbol{r})=E=\mathrm{const}\;.$

Eine Kraft $\boldsymbol{F}$ hat genau dann ein Potential, wenn $\mathop{rot}\boldsymbol{F}$ verschwindet. Konservative Kr&#228fte leisten auf einem geschlossenen Weg keine Arbeit. Ein Kraftfeld $\boldsymbol{F}$ ist genau dann konservativ, wenn die Arbeit beim Verschieben des Massenpunktes zwischen zwei Raumpunkten wegunabh&#228ngig ist.

$ \det F^{(xy)}=\frac{\partial(x_{1},{\ldots},x_{d})}{\partial(y_{1},{\ldots},y_{d})}=\left|\begin{matrix} \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{1}} {\ldots} \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{d}}\\ \vdots \vdots\\ \frac{\partial x_{d}}{\partial y_{1}} {\ldots} \frac{\partial x_{d}}{\partial y_{d}}\end{matrix}\right|$

Einem stetig differenzierbaren skalaren Feld $\varphi(\boldsymbol{r})$ wird ein vektorielles Feld, das so genannte Gradientenfeld, zugeordnet: $\mathop{grad}\varphi=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x_{1}},\,\frac{\partial\varphi}{\partial x_{2}},\,\frac{\partial\varphi}{\partial x_{3}}\right)\;.$

Das Produkt aus tr&#228ger Masse und Geschwindigkeit eines Teilchens hei&#223t ${{\textit{Impuls: }}} \boldsymbol{p}=m_{\text{t}}\boldsymbol{v}\;.$

$A=(a_{ij})$ sei eine $(n\times n)$-Matrix. Dann bezeichnet man als inverse Matrix $A^{-1}=\left(\left(a^{-1}\right)_{ij}\right)$ diejenige $(n\times n)$-Matrix, f&#252r die gilt: $A^{-1}A=A\,A^{-1}={\text{E}}\;.$ $A^{-1}$ existiert genau dann, wenn ${\det A}\neq 0$ ist.

Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

$ J_{lm}=\sum\limits_{i}m_{i}\left(\boldsymbol{r}_{i}^{2}\delta_{lm}-x_{il}x_{im}\right)\;; l,m=1,2,3\;,$, oder in Integralform $J_{lm}=\int\mathrm{d}^{3}r\varrho(\boldsymbol{r})(r^{2}\delta_{lm}-x_{l}x_{m})\;.$

$n$ Vektoren $\boldsymbol{a}_{1}$, $\boldsymbol{a}_{2}$, ..., $\boldsymbol{a}_{n}$ hei&#223en linear unabh&#228ngig, falls die Gleichung $\sum\limits_{j=1}^{n}\alpha_{j}\boldsymbol{a}_{j}=0$ nur durch $\alpha_{1}=\alpha_{2}={\ldots}=\alpha_{n}=0$ erf&#252llt werden kann. Andernfalls hei&#223en sie linear abh&#228ngig.

$A=(a_{ij})$ sei eine $(m\times n)$-Matrix, $B=(b_{ij})$ eine $(n\times r)$-Matrix (Spaltenzahl von $A$ = Zeilenzahl von $B$). Dann versteht man unter der Produktmatrix $C=A\cdot B=\left(c_{ij}\right)$ eine $(m\times r)$-Matrix mit den Elementen $c_{ij}=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\;.$

Der Vektor-Differentialoperator $\nabla\equiv\left(\frac{\partial{}}{\partial x_{1}},\,\frac{\partial{}}{\partial x_{2}},\,\frac{\partial{}}{\partial x_{3}}\right)=\boldsymbol{e}_{1}\frac{\partial{}}{\partial x_{1}}+\boldsymbol{e}_{2}\frac{\partial{}}{\partial x_{2}}+\boldsymbol{e}_{3}\frac{\partial{}}{\partial x_{3}}$ hei&#223t Nabla-Operator.

Das erste Newton'sche Axiom wird auch als Galilei'sches Tr&#228gheitsgesetz bezeichnet: Es gibt Koordinatensysteme, in denen ein kr&#228ftefreier K&#246rper (Massenpunkt) im Zustand der Ruhe oder der geradlinig gleichf&#246rmigen Bewegung verharrt. Solche Systeme sollen Inertialsysteme hei&#252en.

Das zweite Newton'sche Axiom wird auch Bewegungsgesetz genannt: Die &#196nderung des Impulses ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht in Richtung der Kraft $\boldsymbol{F}=\dot{\boldsymbol{p}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(m_{\text{t}}\boldsymbol{v}\right)\;.$

$$\mathrm{e}^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\,\frac{x^{n}}{n!}\;.$$

$$\sin(\alpha)=\alpha-\frac{1}{3!}\,\alpha^{3}+\frac{1}{5!}\,\alpha^{5}+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty}\,(-1)^{n}\,\frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}\;.$$

$\alpha(v) =\alpha\cdot v $, $\boldsymbol{F}_{\text{R}}=-\alpha(v)\boldsymbol{v}\;.$

$\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})\equiv[a_{1}(\boldsymbol{r}),a_{2}(\boldsymbol{r}),a_{3}(\boldsymbol{r})]$ sei ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann hei&#252t $\mathop{rot}\boldsymbol{a}=\left(\frac{\partial a_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial a_{2}}{\partial x_{3}}\right)\boldsymbol{e}_{1}+\left(\frac{\partial a_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial a_{3}}{\partial x_{1}}\right)\boldsymbol{e}_{2}+\left(\frac{\partial a_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial a_{1}}{\partial x_{2}}\right)\boldsymbol{e}_{3}$ die Rotation von $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})$.

Der Schwerpunkt eines Massenpunktsystems bewegt sich so, als ob die gesamte Masse in ihm vereinigt ist und alle &#228u&#223eren Kr&#228fte allein auf ihn wirken. Die inneren Kr&#228fte haben auf die Bewegung des Massenzentrums keinen Einfluss. Der Schwerpunktsatz liefert nachtr&#228glich die Rechtfertigung f&#252r die Einf&#252hrung des Massenpunktbegriffs. So weit man sich nicht f&#252r Details der Bewegungen der Einzelteilchen interessiert, kann man die Gesamtbewegung tats&#228chlich durch die eines Massenpunktes, n&#228mlich des Schwerpunktes, ersetzen

Ein skalares Feld ist die Menge von Zahlenwerten $\varphi(\boldsymbol{r})=\varphi(x_{1},x_{2},x_{3})$ einer physikalischen Gr&#246&#223e $\varphi$, die jedem Punkt $\boldsymbol{r}=(x_{1},x_{2},x_{3})$ eines interessierenden Raumbereichs zugeordnet sind: $M\subset{I\!R}_{3}\,\stackrel{\varphi}{\rightarrow}\,N\subset{I\!R}_{1}\;.$ Es handelt sich also um eine skalarwertige Funktion dreier unabh&#228ngiger Variablen. Der Definitionsbereich $M$ ist durch die physikalische Problemstellung festgelegt.

Das Tr&#228gheitsmoment $J$ bez&#252glich einer beliebigen Achse setzt sich additiv zusammen aus dem Tr&#228gheitsmoment $J_{\text{s}}$ bez&#252glich der zu ihr parallelen Achse durch den Schwerpunkt plus dem Tr&#228gheitsmoment der im Schwerpunkt vereinigten Gesamtmasse $M$ bez&#252glich der urspr&#252nglichen Achse. $J=J_{\text{s}}+M\,S^{2}$ ($S=$ senkrechter Abstand des Schwerpunktes von der Drehachse $\overset{\wedge}{=}$ Abstand der beiden Achsen).

$$\begin{aligned} f(x) =f(x_{0})+\frac{f^{\prime}(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f^{\prime\prime}(x_{0})}{2!}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\ldots\\ =\sum_{n=0}^{\infty}\,\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}\end{aligned}$$

Unter einem Vektor versteht man eine Gr&#246&#223e, die zus&#228tzlich die Angabe einer Richtung ben&#246tigt (z. B. Verschiebung, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Impuls, Kraft, ...)

Kr&#228fte der Gestalt $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})=f\left(\boldsymbol{r},\dot{\boldsymbol{r}},t\right)\cdot\boldsymbol{r}=(f\cdot r)\,\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{r}}$ sind in der Natur sehr h&#228ufig auftretende Krafttypen. Die Kraft wirkt radial von einem Zentrum bei $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}$ nach au&#223en $(f> 0)$ oder auf das Zentrum hin $(f<0)$.