Glossar: Grundkurs Theoretische Physik 3 - Elektrodynamik

$$\begin{aligned} \boldsymbol{F}_{{12}}=\frac{\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi}\oint\limits _{{C_{1}}}\oint\limits _{{C_{2}}}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}\times(\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2}\times\boldsymbol{r}_{{12}})}{r_{{12}}^{3}}\;,\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} n=\sqrt{\varepsilon _{{\text{r}}}\mu _{{\text{r}}}}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \boldsymbol{F}_{{12}}=k\, q_{1}\, q_{2}\frac{\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}}{|\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}|^{3}}=-\boldsymbol{F}_{{21}}\;,\end{aligned}$$ $$\text{mit}$$ $$\begin{aligned}\displaystyle k=\frac{1}{4\pi\,\varepsilon _{0}}\end{aligned}$$ $$\text{und}$$ $$\begin{aligned}\displaystyle\varepsilon _{0}=8{,}8543\cdot 10^{{-12}}\,\frac{{\text{A}}^{2}\,{\text{s}}^{2}}{{\text{N}}\,{\text{m}}^{2}}=8{,}8543\cdot 10^{{-12}}\,\,\frac{{\text{A s}}}{{\text{V m}}}\;.\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \boldsymbol{H}=\frac{1}{\mu _{0}}\boldsymbol{B}-\boldsymbol{M}\quad{(\textbf{Magnetfeld})\;.}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} & \; \textbf{Dipolmoment:}& \; & \; \boldsymbol{p}=\int\mathrm{d}^{3}r^{{\prime}}\boldsymbol{r}^{{\prime}}\varrho(\boldsymbol{r}^{{\prime}})\;\end{aligned}$$

Eichtransformation des Vektorpotentials: $$\begin{aligned} \boldsymbol{A}\mapsto\boldsymbol{A}^{{\prime}}=\boldsymbol{A}+\text{grad}\chi\;.\end{aligned}$$ $\chi$ darf dabei eine beliebige skalare Funktion sein, die sich ganz nach Zweckm&#228&#223igkeitsgesichtspunkten festlegen l&#228sst, da in jedem Fall gilt: $$\begin{aligned} \text{rot}\text{grad}\chi=0\end{aligned}.$$

Anordnung zweier entgegengesetzt gleicher Punktladungen, deren Abstand bei gleichzeitig anwachsender Ladung so gegen Null geht, dass das Dipolmoment $$\begin{aligned} \boldsymbol{p}=\lim _{{\substack{a\to 0\\ q\to\infty}}}\, q\,\boldsymbol{a}\end{aligned}$$ dabei konstant und endlich bleibt. Der so definierte Dipol liegt dann in einem festen Raumpunkt.

$$\begin{aligned} w(\boldsymbol{r},t)=\frac{1}{2}\left[\boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)\mathbin{\boldsymbol{\cdot}}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)+\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)\mathbin{\boldsymbol{\cdot}}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{r},t)\right]\;.\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\,\varepsilon _{0}}\,\sum\limits _{{j=1}}^{n}\, q_{j}\frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{j}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{j}|^{3}}\;.\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int\limits _{V}\text{div}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})\,\mathrm{d}^{3}r=\oint\limits _{{S(V)}}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{f}\;.\end{aligned}$$

Der k&#252nftige Verlauf einer beliebig vorgegebenen Wellenfl&#228che ist bestimmt, wenn man von jedem ihrer Punkte eine Kugelwelle ausgehen l&#228sst und die Einh&#252llende aller dieser koh&#228renten Kugelwellen konstruiert.

$$\begin{aligned} \frac{\partial\varrho}{\partial t}+\text{div}\boldsymbol{j}=0\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \boldsymbol{F}=q(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})\;.\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \boldsymbol{m}=\frac{1}{2}\int\,\mathrm{d}^{3}r\left[\boldsymbol{r}\times\,\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r})\right]\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \boldsymbol{M}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{v(\boldsymbol{r})}\sum\limits _{{i=1}}^{{N(v(\boldsymbol{r}))}}\boldsymbol{m}_{i}\;.\end{aligned}$$Dies zeigt die anschauliche Bedeutung der Magnetisierung als mittleres magnetisches Moment pro Volumen &#252ber die magnetischen Momente $\boldsymbol{m_i}$ im Volumen $v(\boldsymbol{r}).$

$$\begin{aligned} T_{{ij}}=\varepsilon _{{\text{r}}}\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}+\frac{1}{\mu _{{\text{r}}}\mu _{0}}B_{i}B_{j}-\frac{1}{2}\delta _{{ij}}\left(\varepsilon _{{\text{r}}}\varepsilon _{0}E^{2}+\frac{1}{\mu _{{\text{r}}}\mu _{0}}B^{2}\right)\;.\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{r})=\varrho(\boldsymbol{r})\; \;\quad \text{rot}\,\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=0\;.\end{aligned}$$

Die Potential-Entwicklung $$\begin{aligned} 4\pi\varepsilon _{0}\varphi(\boldsymbol{r})=\frac{q}{r}+\frac{\boldsymbol{r}\mathbin{\boldsymbol{\cdot}}\boldsymbol{p}}{r^{3}}+\frac{1}{2}\sum _{{i,j}}Q_{{ij}}\frac{x_{i}x_{j}}{r^{5}}+\ldots\end{aligned}$$ zeigt, dass sich das Potential einer beliebigen Ladungsverteilung aus den Potentialen einer Punktladung, eines Dipols, eines Quadrupols, eines Oktupols usw. zusammensetzt. Man spricht von einer Multipolentwicklung.

$$\begin{aligned} \begin{aligned} & \; \textbf{Phasengeschwindigkeit:}& \; u& \; =\frac{\omega(k)}{k}\;,\\ & \; \textbf{Gruppengeschwindigkeit:}& \; v_{{\text{g}}}& \; =\frac{\mathrm{d}\omega(k)}{\mathrm{d}k}\;.\end{aligned}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \boldsymbol{S}(\boldsymbol{r},t)=\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)\;.\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} & \; \textbf{Quadrupolmoment:}& \; & \; Q_{{ij}}=\int\mathrm{d}^{3}r^{{\prime}}\varrho(\boldsymbol{r}^{{\prime}})(3x^{{\prime}}_{i}x^{{\prime}}_{j}-r^{{\prime 2}}\delta _{{ij}})\;\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \varphi(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\,\varepsilon _{0}}\,\int\,\mathrm{d}^{3}r^{{\prime}}\,\frac{\varrho(\boldsymbol{r}^{{\prime}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{{\prime}}|}\;.\end{aligned}$$