Glossar: Physik - für Studierende der Naturwissenschaften und Technik

Ist die Beschleunigung nicht konstant über die Zeit, kann man eine mittlere Beschleunigung definieren, indem man die Geschwindigkeiten für den Start- und den Endpunkt des betrachteten Zeitintervalls ermittelt: \begin{equation} \langle a_x \rangle = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} \end{equation}

Der Vektor der Momentanbeschleunigung ist der Grenzwert des Quotienten $\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$ für $\Delta t$ gegen null, d.h. die Ableitung des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit:\begin{equation} \vec{a}(t) = \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d} t} \end{equation}

\begin{equation} \langle v_x \rangle = \textstyle \frac{1}{2}\,(v_{1,x} +v_{2,x}) \end{equation}

Wenn der Impuls des Teilchens $\vec{p} = m\,\vec{v}$ ist, dann hat das Teilchen einen Drehimpuls $\vec{L}$ bezüglich des Ursprungs, den man als das Vektorprodukt von $\vec{r}$ und $\vec{p}$ definiert: \begin{equation} \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} \end{equation}

\begin{equation} \vec{L} = \vec{L}_\mathrm{Bahn} + \vec{L}_\mathrm{Spin} \end{equation}

Für jedes System, das um eine Symmetrieachse rotiert, ist der Gesamtdrehimpuls (die Summe der Drehimpulse aller Einzelteilchen des Systems) parallel zur Winkelgeschwindigkeit; dann ist der Gesamtdrehimpuls gegeben durch: \begin{equation} \vec{L} = I\,\vec{\omega} \end{equation} Dabei bezeichnet $I$ das Trägheitsmoment der Anordnung.

\begin{equation} \mathrm{d} W = M\,\mathrm{d}\theta \end{equation}

\begin{equation} M = F_\mathrm{t}\,r \end{equation}

\begin{equation} M = F_\mathrm{t}\,r = F\,r\,\sin\theta = F\,l \end{equation}

\begin{equation} P = M\,\omega \end{equation}

\begin{equation} a_\mathrm{t} = r\,\alpha \end{equation} Hier ist $a_\mathrm{t}$ die Tangentialbeschleunigung des Seils und $\alpha$ die Winkelbeschleunigung des Rads.

\begin{equation} \theta = \theta_0 + \omega_0\,t + \textstyle{\frac{1}{2}}\,\alpha\,t^2 \end{equation}

\begin{equation} E_\mathrm{kin} = \textstyle{\frac{1}{2}}\,m\,v_\mathrm{S}^2 + \textstyle{\frac{1}{2}}\,I_\mathrm{S}\,\omega^2 \end{equation}

Für die ungleichförmige, eindimensionale Bewegung kann man die mittlere Geschwindigkeit folgendermaßen definieren:\begin{equation} \langle v_x \rangle = \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{equation}

Die Momentangeschwindigkeit in $x$-Richtung $v_x$ ist der Grenzwert des Quotienten $\Delta x/\Delta t$ für $\Delta t$ gegen null:\begin{align} v_x(t) &= \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ \nonumber&=\text{Anstieg der Tangente an die Funktion $x(t)$} \end{align}

Wenn sich ein Teilchen mit der Geschwindigkeit $\vec{v}^\mathrm{(A)}$ relativ zum Bezugssystem A bewegt, das sich seinerseits mit der Geschwindigkeit $\vec{v}_\mathrm{A}^\mathrm{(B)}$ relativ zum Bezugssystem B bewegt, ist die Geschwindigkeit des Teilchens relativ zum Bezugssystem B:\begin{equation} \vec{v}^\mathrm{(B)} = \vec{v}^\mathrm{(A)} + \vec{v}_\mathrm{A}^\mathrm{(B)} \end{equation}

\begin{equation} M_{\mathrm{ext}} = \sum M_{\mathrm{ext},i} = I\,\alpha \end{equation}

Das zweite Newton'sche Axiom für Drehbewegungen ($M\,=\,I\,\alpha$) gilt in einem beliebigen Inertialsystem. Es gilt insbesondere in einem Bezugssystem, das sich linear mit dem Massenmittelpunkt bewegt, und zwar selbst dann, wenn der Massenmittelpunkt beschleunigt wird. Dabei müssen alle Trägheitsmomente und alle Drehmomente bezüglich einer Achse durch den Massenmittelpunkt berechnet werden. Es gilt: \begin{equation} M_{\text{ext}}^{\text{(S)}} = I_\mathrm{S}\,\alpha \end{equation}

Ein Teilchen in der $x$-$y$-Ebene mit den Koordinaten $(x,y)$ besitzt den Ortsvektor \begin{equation} \vec{r} = x\,\hat{e}_x + y\,\hat{e}_y \end{equation}Dabei sind die $x$- und die $y$-Komponente die kartesischen Koordinaten $\vec{r}$ des Teilchens.

\begin{equation} \omega_P = \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t} = \frac{r_\mathrm{S}\,m\,a_\mathrm{G}}{L} = \frac{r_\mathrm{S}\,m\,a_\mathrm{G}}{I\,\omega} \end{equation}

\begin{equation} s = r\,\theta \end{equation}

\begin{equation} v_\mathrm{S} = r\,\omega \end{equation}

\begin{equation} y(x) = (\tan\theta_0)\,x - \left( \frac{g}{2\,v_0^2\,\cos\!\!^2\,\theta_0} \right)x^2 \end{equation}

\begin{equation} \vec{r} = \vec{r}_0 + \vec{v}_0\,t - \frac{1}{2} g\,t^2\,\hat{e}_y \quad \text{oder} \quad \Delta\vec{r} = \vec{v}_0\,t - \frac{1}{2} g\,t^2\,\hat{e}_y \end{equation}

Wenn ein Körper der Masse $m$ das Trägheitsmoment $I_{\text{S}}$ bezüglich einer Achse durch den Massenmittelpunkt hat, dann ist das Trägheitsmoment $I$ bezüglich einer parallelen Achse im Abstand $h$ von der ersten Achse gegeben durch den Steiner'schen Satz: \begin{equation} I = I_{\text{S}} + m\,h^2 \end{equation}

\begin{equation}\vert\vec{v}_{\mathrm{t}}\vert = \vert\vec{r}\vert \cdot \vert\vec{\omega}\vert \cdot \sin \varphi \end{equation}

\begin{equation} I = \sum_i m_i\,r_i^2 \end{equation}

\begin{equation} \vec{\alpha} = \frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d} t} \quad \text{bzw.} \quad \alpha = \frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d} t^2}\end{equation}

\begin{equation} \omega = \omega_0 + \alpha\,t \end{equation}

\begin{equation}\vec{a}_{\text{ZP}} = - \frac{v^2}{r}\,\hat{e}_r \end{equation}Das negative Vorzeichen ist notwendig, da die Richtung der Zentripetalbeschleunigung dem Einheitsvektor $\hat{e}_r$ des Radiusvektors entgegengesetzt ist.