| Begriff | Erklärung |
|---|---|
| Ableitung, partielle | Als partielle Ableitung $\partial_i f \equiv \frac{\partial f}{\partial x_i}$ einer Funktion $f= f\left(x_1,\dots,x_n\right)$ mit $(i\leq i \leq n)$, versteht man den Grenzwert $$\lim_{\Delta x_i \rightarrow 0} \frac{f\left(x_1,\dots, x_i+\Delta x_i, \dots, x_n \right)-f\left(x_1,\dots, x_i, \dots, x_n \right)}{\Delta x_i}$$ |
| Ableitung, total | Als totale Ableitung eines Feldes $\phi$, welche implizit und oder auch explizit von einer Variablen $t$ abhängt, den folgenden Ausdruck $$\frac{\text{d} \phi}{\text{d}t} := \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{ \phi\left(\boldsymbol{r}(t+\Delta t), t+\Delta t\right) - \phi\left(\boldsymbol{r}, t\right)}{\Delta t} \equiv \frac{\text{d} \boldsymbol{r}}{\text{d}t} \circ \boldsymbol{\nabla}\phi \,+\, \frac{\partial \phi}{\partial t}$$ |
| Cauchy Integral | Für Funktionen, die in einem einfach zusammenhängenden Gebiet von $\mathbb{C}$ holomorph sind, gilt der Cauchy'sche Integralsatz $$\oint f(z) \text{d}z = 0$$ Somit sind diese komplexen Integrale wegunabhängig. |
| Differenzialoperator, selbstadjungiert | Ein Differentialoperator $\mathcal{D}$ heißt bezüglich eines Skalarprodukts selbstadjungiert, wenn gilt $$\left\langle \mathcal{D} g\,,\,h\right\rangle = \left\langle g\,,\, \mathcal{D} h\right\rangle$$ |
| Divergenz | Die Divergenz eines Vektorfeldes $\boldsymbol{j}$ ist ein Maß für seine Quellen/Senken. Sie ist definiert als $$\text{div} \boldsymbol{j} := \boldsymbol{\nabla}\circ \boldsymbol{j}$$ |
| Fourier-Reihe | Jede periodische, quadratintegrable Funktion $f(t)$ mit der Periode $T$ kann als Fourier-Reihe dargestellt werden $$f(t) = \sum_{j=0}^{\infty}a_jg_j(t) + \sum_{j=1}^{\infty}b_jh_j(t)$$ mit den Funktionen $g_0(t)= \frac{1}{\sqrt{2}}\,,\, g_j(t) = \cos\left(j\omega t\right) \,,\, h_j(t) = \sin\left(j\omega t\right)$ und Koeffizienten \begin{eqnarray} a_j &=& \frac{2}{T} \int_c^{c+T}f(t)g_j(t)\text{d}t \\ b_j &=& \frac{2}{T} \int_c^{c+T}f(t)h_j(t)\text{d}t \end{eqnarray} |
| Fourier-Transformation | Für eine skalare Funktion $f(\boldsymbol{r})$ ist die Fourier-Transformation definiert als \begin{eqnarray} f(\boldsymbol{r}) &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}^3} \int \tilde{f}(\boldsymbol{k}) \text{e}^{\text{i} \boldsymbol{k}\circ \boldsymbol{r}} \text{d}^3k \\ \tilde{f}(\boldsymbol{k}) &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}^3} \int f(\boldsymbol{r}) \text{e}^{-\text{i} \boldsymbol{k}\circ \boldsymbol{r}} \text{d}^3r \end{eqnarray} |
| Gauß'scher Integralsatz | Der Gauß'sche Integralsatz stellt einen Zusammenhang her zwischen dem Volumenintegral über die Quellen eines Vektorfeldes und dessen Fluss durch die Oberfläche $$\int_V \text{div}\boldsymbol{j} \text{d}V = \oint_{\partial V} \boldsymbol{j}\circ \textbf{d}\boldsymbol{F}$$ |
| Green'sche Integralsatz | Mittels partieller Integration folgt aus dem Gauß'schen Integralsatz die Integrale von Green wie folgt \begin{eqnarray} |
| Hesse-Matrix | Die Hesse-Matrix eines skalaren Feldes $\phi$ besteht aus seinen partiellen zweiten Ableitungen bezüglich der Koordinatenbasis. Sie ist für dreidimensionale kartesische Koordinaten definiert als $$\boldsymbol{H}_\phi := \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial z} \\ \frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} & \frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial z} \\ \frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial x} & \frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial y} & \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\end{pmatrix}$$ Die Spur dieser Matrix ist definiert als $\bigtriangleup \phi = \text{div}\, \textbf{grad}\, \phi$ |
| Holomorphe Funktion | Eine komplexe Funktion $f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$ heißt holomorph, wenn sie komplex differenzierbar ist. Dies kann beispielsweiße mit den Cauchy-Riemann'schen Differenzialgleichungen überprüft werden $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad\text{und}\qquad \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}$$ wobei $z=x+\text{i}y$ ist und $f(z) = u(x,y) + \text{i} v(x,y)$. Funktionen, welche auf ganz $\mathbb{C}$ holomorph sind, heißen 'ganz'. |
| Integration, Flächen | Zur Integration eines skalaren Feldes $\phi(x,y)$ über eine Fläche in der $xy$-Ebene beschrieben durch infinitesimal kleine Vielecke, stellt man diese mittels der Jacobi-Determinanten $$\text{d}u \text{d}v = \left\vert \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right\vert \text{d}x \text{d}y$$ in geschickten Koordinaten dar. Das doppelte Integral bestimmt man dann schrittweise aus $$\int\left(\int f(x,y) \text{d}y\right) \text{d}x$$ |
| Integration, Volumen | Zur Integration eines skalaren Feldes $\phi(x,y,z)$ über einen Körper beschrieben durch infinitesimal kleine Polyeder führt man die Berechnung für jede Koordinate schrittweise aus. $$\int_V \phi(x,y,z) \text{d} V$$ Für kartesische Koordinaten gilt $\text{d} V = \text{d}x \text{d}y \text{d}z$, für polare Koordinaten $\text{d} V = \rho \text{d}\rho \text{d}\varphi \text{d}z$ und für sphärische Koordinaten $\text{d}V = r^2 \text{d}\cos\vartheta \text{d}\varphi = r^2 \text{d}r \text{d}\Omega$. |
| Integration, Weg | Zur Integration eines vektoriellen Feldes $\boldsymbol{K}$ entlang eines Weges beschrieben durch infinitesimale Teilstücke $\textbf{d}\boldsymbol{r}$ stellt man diese durch einen Parameter $\lambda$ dar als $\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(\lambda)$. Es gilt $$\int_{\boldsymbol{r}_1}^{\boldsymbol{r}_2} \boldsymbol{K} \circ \textbf{d}\boldsymbol{r} = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2}\boldsymbol{K} \circ \frac{\text{d}\boldsymbol{r}}{\text{d}\lambda} \text{d}\lambda$$ Für geschlossene Wege schreibt man $\oint \boldsymbol{K}\circ \textbf{d}\boldsymbol{r}$ |
| Jacobi-Matrix | Die Jacobi-Matrix eines vektoriellen Feldes $\boldsymbol{K}$ besteht aus seinen partiellen Ableitungen bezüglich der Koordinatenbasis. Sie ist für dreidimensionale kartesische Koordinaten definiert als $$ \boldsymbol{J}_{\boldsymbol{K}}:= \begin{pmatrix} \frac{\partial K_x}{\partial x} & \frac{\partial K_x}{\partial y} & \frac{\partial K_x}{\partial z} \\ \frac{\partial K_y}{\partial x} & \frac{\partial K_y}{\partial y} & \frac{\partial K_y}{\partial z} \\ \frac{\partial K_z}{\partial x} & \frac{\partial K_z}{\partial y} & \frac{\partial K_z}{\partial z} \end{pmatrix} $$ |
| Kontinuitätsgleichung | Die zeitliche Änderung der Dichte hängt mit der dazu fließenden Größe wie folgt zusammen $$\dot\rho + \text{div}\boldsymbol{j} = 0 $$ |
| Nabla Operator | Der Nabla Operator ist ein Vektor, dessen Komponenten die Ableitungsoperatoren bezüglich der Koordinatenbasis sind. Es ist für dreidimensionale kartesische Koordinaten $$\boldsymbol{\nabla} := \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix}$$ |
| Potential, skalar | Für ein wirbelfreies vektorielles Feld $\boldsymbol{E}$, welches im ganzen Raum definiert ist, führt auf ein skalares Feld $\phi$. Da die skalare Größe nicht eindeutig definiert ist, wird sie anhand eines Anfangspunktes $\boldsymbol{r}_0$ fixiert und es gilt \begin{eqnarray} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) &=& \textbf{grad}\phi(\boldsymbol{r}) \\ \phi(\boldsymbol{r}) &=& \int_{\boldsymbol{r}_0}^{\boldsymbol{r}}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}) \circ \textbf{d}\boldsymbol{x}\end{eqnarray} |
| Richtungsableitung | Die Richtungsableitung eines Feldes $\phi$ in Richtung eines Einheitsvektors $\hat{\boldsymbol{e}}$ gibt an, wie sich das Feld in Richtung des Vektors verändert. Sie ist gegeben durch $$\partial_{\hat{\boldsymbol{e}}} \phi := \hat{\boldsymbol{e}} \circ \boldsymbol{\nabla} \phi$$ |
| Rotation | Die Rotation eines Vektorfeldes $\boldsymbol{j}$ ist ein Maß für seine Wribel. Sie ist definiert als $$\textbf{rot} \boldsymbol{j} := \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{j}$$ |
| Separationsansatz | Zum Lösen von partiellen linearen Differenzialgleichungen kann man oft einen Separationsansatz verwenden, d. h., man schreibt die gesuchte Lösung als ein Produkt aus Funktionen, die nur von jeweils einer der Variablen abhängen. Kann man dann die Abhängigkeit von jeweils einer Variable auf jeweils einer Seite der Gleichung isolieren, so müssen die beiden Terme konstant sein, woraus man gewöhnliche Differenzialgleichungen erhält. In vielen Fällen ist diese gewöhnliche Differenzialgleichung eine Eigenwertgleichung mit einem selbstadjungierten Differenzialoperator, sodass man als Lösung ein vollständiges orthogonales Funktionensystem erhält. |
| Skalarprodukt für Funktionen | Für quadratintegrable Funktionen $g$ und $h$, die auf einem Intervall $I$ definiert sind, kann man ein Skalarprodukt definieren durch $$\left\langle g\,,\,h\right\rangle := \int_{I}g^∗(x) h(x) \text{d}x$$ |
| Stationärer Punkt | Bei einem skalaren Feld $\phi$ heißen die Stellen, bei denen der Gradient verschwindet, stationäre/kritische Punkte. Sind dort alle Eigenwerte der Hesse-Matrix positiv, so hat $\phi$ dort ein lokales Minimum; sind alle Eigenwerte negativ, ein lokales Maximum. |
| Stokes'scher Integralsatz | Der Stokes'sche Integralsatz stellt einen Zusammenhang her zwischen dem geschlossenen Wegintegral (Zirkulation) über ein Vektorfeld und dem Fluss der Wirkbel dieses Feldes durch eine beliebige Fläche, deren Rand dieser Weg ist, $$\oint_{\partial F} \boldsymbol{A}\circ \textbf{d}\boldsymbol{r} = \int_{F} \textbf{rot}\boldsymbol{A} \circ \textbf{d}\boldsymbol{F}$$ |
| Taylor-Reihe | Für ein skalares Feld $\phi$ ist die Taylor-Reihe bis zur zweiten Ordnung (quadratische Näherung) über die Hesse-Matrix $\boldsymbol{H}_\phi$ definiert als $$\phi\left(\boldsymbol{r}_0 + \Delta \boldsymbol{r}\right) \simeq \phi\left(\boldsymbol{r}_0\right) + \Delta\boldsymbol{r} \circ \textbf{grad} \phi\left(\boldsymbol{r}_0\right) + \frac{1}{2} \Delta \boldsymbol{r}^\top \boldsymbol{H}_\phi \left(\boldsymbol{r}_0\right) \Delta \boldsymbol{r}$$ |
Springer Lehrbuch Physik