Glossar: Theoretische Physik 1 - Mechanik

Die Bahnkurve im Gravitationspotenzial lautet allgemein \begin{equation} r( \varphi) = \frac{p}{1 + \varepsilon\, \mathrm{cos\:} ( \varphi - \varphi_\mathrm{p})}, \end{equation} wobei $p$ der Bahnparameter, $ \varepsilon$ die Exzentrizität und $ \varphi_\mathrm{p}$ eine weitere Integrationskonstante ist.

Wird die Bewegung des gesamten Systems auf eine Koordinatenebene beschränkt, so lässt sich das System direkt im zweidimensionalen Raum formulieren. Dies reduziert die Anzahl der Zwangsbedingungen und Lagrange-Multiplikatoren. Dies gilt entsprechend auch, wenn die Bewegung entlang nur einer Koordinatenachse eingeschränkt wird.

Die Bewegungsgleichung des Bandes (d.h. der kontinuierlichen Kette) lautet in Abwesenheit von äußeren Kräften \begin{equation} \rho \frac{\partial^2 q(t, x)}{\partial t^2} - Y \frac{\partial^2 q(t, x)}{\partial x^2} = 0. \end{equation} Es handelt sich hierbei um eine lineare partielle Differenzialgleichung zweiter Ordnung für die Funktion $q(t, x)$, die auf dem Intervall $[0, \ell]$ definiert ist.

Für die vollständige Lösung der Bewegungsgleichungen einer Punktmasse entlang einer Achse benötigt man zwei Integrationskonstanten. Dies können beispielsweise die Anfangsbedingungen für Ort und Geschwindigkeit sein.

Das Ausnutzen von Erhaltungsgrößen vereinfacht in der Regel das Lösen der Bewegungsgleichungen. Der erste Schritt bei der Analyse eines physikalischen Problems sollte daher das Identifizieren von Symmetrien und Erhaltungsgrößen sein.

Mit den Parametern $\xi = x + v t$ und $\eta = x - v t$ nimmt die Schwingungsgleichung die einfache Form \begin{equation} \frac{\partial^2 q}{\partial \xi \partial \eta} = 0 \end{equation} an.

Für einen Vektor $\mathfrak{A}$ mit der Darstellung $(A_r, A_\vartheta, A_\varphi)$ in Kugelkoordinaten gilt \begin{equation} \mathrm{div} \mathfrak{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial (r^2 A_r)}{\partial r} + \frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial (\sin \vartheta A_\vartheta)}{\partial \vartheta} + \frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}. \end{equation}

Der Drehimpulssatz eines Systems von Punktmassen, zwischen denen nur Zentralkräfte wirken, lautet \begin{equation} \dot{ \boldsymbol{L}} = \sum_i \boldsymbol{M}^{(\mathrm{a})}_i = \boldsymbol{M}^{(\mathrm{a})}. \end{equation} Der Gesamtdrehimpuls dieses Systems wird lediglich von den äußeren Kräften bzw. äußeren Drehmomenten beeinflusst. Verschwindet das Gesamtdrehmoment der äußeren Kräfte, so ist der Gesamtdrehimpuls des Systems erhalten.

Ist die Drehmatrix $ \boldsymbol{R}$ zwischen einem Inertialsystem $\mathcal S$ und einem beschleunigten System $\mathcal B$ zeitabhängig, so wird die momentane Winkelgeschwindigkeit $\boldsymbol{\omega}$ von $\mathcal B$ aus dem Produkt $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{R}^\top \dot{ \boldsymbol{R}}$ bestimmt: \begin{equation} b_{ij} = r_{ki} \dot r_{kj} = \epsilon_{ijk} \omega_k, \quad \omega_l = \frac{1}{2} \epsilon_{ijl} b_{ij}. \end{equation} In einer infinitesimalen Zeit $ \mathrm{d} t$ dreht sich $\mathcal B$ dabei um einen Winkel $ \boldsymbol{d} \boldsymbol{\phi} = \boldsymbol{\omega}\, \mathrm{d} t $ um die Achse $\boldsymbol{\omega}$.

Sind $A$ und $B$ Weltpunkte auf einer Weltlinie, die in einem Inertialsystem durch eine Bahnkurve $\boldsymbol{x}(t)$ mit Geschwindigkeit $\boldsymbol{v}(t)=\mathrm{d}\boldsymbol{x}(t)/\mathrm{d}t $ gegeben ist, dann ist die Eigenzeit gegeben durch \begin{eqnarray} \tau_{B}-\tau_{A}&=&\int_{\tau_{A}}^{\tau_{B}}\mathrm{d}\tau=\int_{t_A}^{t_B}\frac{\mathrm{d}t }{\gamma(v(t))} \\ &=&\int_{t_A}^{t_B}\mathrm{d}t \sqrt{1-\frac{\boldsymbol{v}^2(t)}{c^2}} \le t_B-t_A.\end{eqnarray}

Einen Körper, dessen Punktmassen durch konservative Kräfte wechselwirken, nennt man elastisch. Die Gesamtenergie ergibt sich aus der kinetischen und der Wechselwirkungsenergie. Wird ein elastischer Körper verformt, so wird die zur Verformung benötigte Arbeit als elastische (potenzielle) Energie gespeichert und kann wieder vollständig in kinetische Energie umgewandelt werden (wobei der Körper in seine Ursprungsgestalt zurückkehrt). Reibungskräfte treten in einem idealen elastischen Körper nicht auf.

Die relativistische Energie eines (freien) Punktteilchens ist definiert durch \begin{equation} E = \gamma(v)\, m c^2.\end{equation} Auch einer ruhenden Masse wird somit eine Energie zugeordnet; man spricht daher von einer Äquivalenz von Masse und Energie.

Die Energie eines mechanischen Systems ist erhalten, wenn alle Kräfte konservativ sind.

Ist die Wirkung invariant unter einer konstanten Verschiebung des Zeitnullpunktes, so ist die Gesamtenergie des Systems erhalten.

Sind die angewandten Kräfte $\boldsymbol{F}_i$ konservativ, lautet der Energiesatz in Anwesenheit von holonomen Zwangsbedingungen \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} (T + V) = - \sum_{a=1}^r \lambda_a \frac{\partial f_a}{\partial t}. \end{equation} Die Energie ist erhalten, wenn die Zwangsbedingungen skleronom sind, d.h. ihre partiellen Zeitableitungen verschwinden.

Der Drehimpulssatz eines Systems von Punktmassen, zwischen denen nur Zentralkräfte wirken, lautet \begin{equation} \dot{ \boldsymbol{L}} = \sum_i \boldsymbol{M}^{(\mathrm{a})}_i = \boldsymbol{M}^{(\mathrm{a})}. \end{equation} Der Gesamtdrehimpuls dieses Systems wird lediglich von den äußeren Kräften bzw. äußeren Drehmomenten beeinflusst. Verschwindet das Gesamtdrehmoment der äußeren Kräfte, so ist der Gesamtdrehimpuls des Systems erhalten.

Sind alle Kräfte konservativ, ist die Gesamtenergie in einem System aus $N$ paarweise wechselwirkenden Punktmassen erhalten. Dissipative Kräfte können die Gesamtenergie ändern: \begin{equation} \frac{ \mathrm{d}}{ \mathrm{d} t}(T + V) = \sum_i \boldsymbol{F}^{\mathrm{diss}}_i \cdot \dot{\boldsymbol{x}}_i. \end{equation}

Der Impulssatz eines Systems von Punktmassen lautet \begin{equation} \dot{\boldsymbol{P}} = \sum_i \boldsymbol{F}^{(\mathrm{a})}_i = \boldsymbol{F}^{(\mathrm{a})} \end{equation} Die Bewegung des Schwerpunktes wird nur durch äußere, nicht jedoch durch innere Kräfte beeinflusst. Verschwindet die Summe aller äußeren Kräfte, so ist der Gesamtimpuls erhalten, d.h. der Schwerpunkt bewegt sich geradlinig-gleichförmig.

Das Ausnutzen von Erhaltungsgrößen vereinfacht in der Regel das Lösen der Bewegungsgleichungen. Der erste Schritt bei der Analyse eines physikalischen Problems sollte daher das Identifizieren von Symmetrien und Erhaltungsgrößen sein.

Wird ein starrer Körper in einem Punkt festgehalten, so ist die allgemeine Bewegung eine Drehung um eine Achse, die durch diesen Punkt läuft.

Die Impulsdichte $\rho \boldsymbol{u}$ genügt der Euler-Gleichung \begin{equation} \frac{\partial (\rho \boldsymbol{u})}{\partial t} = - \mathbf{div\,} (\rho \boldsymbol{u} \circ \boldsymbol{u}) - \mathbf{grad\,} P + \boldsymbol{f} \end{equation} an jedem Ort $\boldsymbol{r}$ und zu jeder Zeit $t$. Dies sind drei nichtlineare partielle Differenzialgleichungen.

Die $N$ Funktionen $y_i(x)$ lassen sich aus \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial f}{\partial y'_i} - \frac{\partial f}{\partial y_i} = - \sum_{j=1}^r \lambda_j(x) \frac{\partial f_j}{\partial y_i} \quad (1 \leq i \leq N) \end{equation} bestimmen.

Gibt es $N$ abhängige Variablen $y_i(x)$, so lautet die Erweiterung der Euler-Gleichung: \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial f}{\partial y'_i} - \frac{\partial f}{\partial y_i} = 0 \quad (1 \leq i \leq N). \end{equation} Es sind also $N$ partielle Differenzialgleichungen zweiter Ordnung unter Berücksichtigung der $2N$ Randbedingungen $y_i(x_0) = y_{i,0}$ und $y_i(x_1) = y_{i,1}$ zu lösen.

In der Physik versteht man unter einem Feld eine Größe, die eine Funktion des Ortes ist (z.B. eine Funktion von $\boldsymbol{r}$ in drei Dimensionen). Zusätzlich kann ein Feld zeitabhängig sein. Felder können skalar-, vektor- oder tensorwertig sein. So ist beispielsweise die Temperaturkarte der Wettervorhersage ein Skalarfeld, da die Temperatur eine skalare Größe ist: $T(\boldsymbol{r})$. Ein Geschwindigkeitsfeld $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r})$ hingegen ist eine vektorwertige Größe und wird beispielsweise verwendet, um die Strömung einer Flüssigkeit am Ort $\boldsymbol{r}$ zu beschreiben.

Felder $ \boldsymbol{F}( \boldsymbol{x})$, die auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet $G$ definiert sind, haben genau dann ein Potenzial $V( \boldsymbol{x})$, wenn sie in $G$ wirbelfrei (rotationsfrei) sind, \begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{F} = 0 \; \Longleftrightarrow \; \boldsymbol{F} = - \boldsymbol{\nabla} V. \end{equation}

Die Impulsdichte $\rho \boldsymbol{u}$ genügt der Euler-Gleichung \begin{equation} \frac{\partial (\rho \boldsymbol{u})}{\partial t} = - \mathbf{div\,} (\rho \boldsymbol{u} \circ \boldsymbol{u}) - \mathbf{grad\,} P + \boldsymbol{f} \end{equation} an jedem Ort $\boldsymbol{r}$ und zu jeder Zeit $t$. Dies sind drei nichtlineare partielle Differenzialgleichungen.

Die Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion $f(t)$ können über \begin{eqnarray} a_j &=& \frac{2}{T} \int_c^{c+T} f(t) g_j(t)\, \mathrm{d} t, \\ b_j &=& \frac{2}{T} \int_c^{c+T} f(t) h_j(t)\, \mathrm{d} t \end{eqnarray} berechnet werden.

Eine eigentliche Galilei-Transformation zwischen zwei Inertialsystemen überführt die Darstellung des Ortsvektors $ \boldsymbol{x}$ und der Zeit $t$ in \begin{equation} \boldsymbol{x}' = \boldsymbol{R} ( \boldsymbol{x} - \boldsymbol{v}_0 t - \boldsymbol{b}_0), \quad t' = t - t_0. \end{equation} Die Drehmatrix $ \boldsymbol{R}$, Relativgeschwindigkeit $\boldsymbol{v}_0$, Verschiebung $\boldsymbol{b}_0$ und Verschiebung $t_0$ der Zeitnullpunkte sind konstant.

Der Gradient $\boldsymbol{\nabla}$ einer skalaren Funktion $f$ hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab: \begin{eqnarray} \boldsymbol{\nabla} f &=& \left(\boldsymbol{\hat e}_1 \frac{\partial}{\partial x_1} + \boldsymbol{\hat e}_2 \frac{\partial}{\partial x_2} + \boldsymbol{\hat e}_3 \frac{\partial}{\partial x_3}\right) f \\ &=& \left(\frac{\boldsymbol{\hat e}'_1}{h_1} \frac{\partial}{\partial q_1} + \frac{\boldsymbol{\hat e}'_2}{h_2} \frac{\partial}{\partial q_2} + \frac{\boldsymbol{\hat e}'_3}{h_3} \frac{\partial}{\partial q_3}\right) f,\end{eqnarray} wenn $h_i^2 = \sum_{j=1}^{3} \left(\frac{\partial x_j}{\partial q_i} \right)^2$ gilt.

Ein Kurvenintegral über ein Vektorfeld $ \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})$ ist genau dann wegunabhängig, wenn es ein Skalarfeld $\Phi$ gibt, dessen Gradient $ \boldsymbol{F}$ ist, d.h. $$ \boldsymbol{F}( \boldsymbol{x}) = \boldsymbol{\nabla} \Phi(\boldsymbol{x})$$

\begin{equation} \frac{\partial H}{\partial p_i} = \dot q_i, \quad \frac{\partial H}{\partial q_i} = - \dot p_i \quad (1 \leq i \leq f) \end{equation}

Die Hamilton-Funktion \begin{equation} H = \sum_i \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L \end{equation} ist gleich der erhaltenen Gesamtenergie des Systems, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: 1.) Das System ist konservativ; alle Kräfte lassen sich aus $V$ ableiten. 2.) Das Potenzial $V$ ist geschwindigkeitsunabhängig. 3.) Alle Zwangsbedingungen sind skleronom.

In vielen Fällen lassen sich Zwangsbedingungen in der Form \begin{equation} f_a(t, \boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_N) = 0 \quad (1 \leq a \leq r) \end{equation} schreiben, wobei $r$ die Anzahl der Zwangsbedingungen ist. Man nennt Zwangsbedingungen dieser Form holonom.

Für abgeschlossene physikalische Systeme mit einer Lagrange-Funktion der Form \begin{equation} L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\dot{x}}) = \frac{1}{2} \sum_i m_i \boldsymbol{\dot{x}}_i^2 - \frac{1}{2} \sum_{j \not= i} V_{ij}(\lvert \boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{x}_j \rvert).\end{equation} gelten die folgenden vier wichtigen Prinzipien, die man umgekehrt benutzen kann, um die erhaltenen Größen zu definieren: 1.) Homogenität der Zeit: Die Bewegungsgleichungen sind invariant unter einer willkürlichen Verschiebung des Zeitnullpunktes. Man definiert allgemein die Energie als diejenige erhaltene Größe, die sich aus der Homogenität der Zeit ergibt. 2.) Homogenität des Raumes: Eine willkürliche Verschiebung aller Punktmassen hat keinen Einfluss auf die Bewegungsgleichungen. Man definiert allgemein den Gesamtimpuls als diejenige erhaltene Größe, die sich aus der Homogenität des Raumes ergibt. 3.) Isotropie des Raumes: Auch unter willkürlichen Drehungen des Systems bleiben die Bewegungsgleichungen invariant. Es ist keine Richtung ausgezeichnet. Allgemein wird der Gesamtdrehimpuls als diejenige Erhaltungsgröße definiert, die sich aus der Isotropie des Raumes ergibt. 4.) Relativitätsprinzip: Die Bewegungsgleichungen sind invariant unter Transformationen, bei denen der Schwerpunkt mit einer konstanten Geschwindigkeit $\boldsymbol{\dot b}$ bewegt wird.

Der Viererimpuls eines Punktteilchens mit Ruhemasse $m$ ist definiert durch \begin{equation} p^\mu:=m\, u^\mu. \end{equation} In einem gegebenen Inertialsystem, in dem das Punktteilchen die Dreiergeschwindigkeit $\boldsymbol{v}(t)$ hat, ist \begin{equation} p^\mu=\begin{pmatrix}p^0 \\ \boldsymbol{p}\end{pmatrix} =m\,\gamma(v)\begin{pmatrix}c \\ \boldsymbol{v}\end{pmatrix}.\end{equation} Der Dreierimpuls ist damit durch \begin{equation}\boldsymbol{p}=m\,\gamma(v)\,\boldsymbol{v} \end{equation} gegeben. Dies stimmt mit der nichtrelativistischen Definition eines Impulses überein, wenn man eine geschwindigkeitsabhängige Masse $m(v)=\gamma(v)\,m$ einführt (in der älteren Literatur auch relativistische Masse genannt). In Übereinstimmung mit den heutigen Gepflogenheiten wird mit $m$ jedoch immer die Ruhemasse $m=m(0)$ bezeichnen.

Die Impulsdichte von Fluiden lässt sich durch die lokale Bilanzgleichung \begin{equation} \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \mathrm{div\,} \boldsymbol{j} \quad \mathrm{bzw.} \quad \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \mathrm{div\,} (\rho \boldsymbol{u}) \end{equation} ausdrücken, die an jedem Ort $\boldsymbol{r}$ und zu jeder Zeit $t$ gilt. Es handelt sich also um eine in $\rho$ und $\boldsymbol{u}$ lineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung. Sie ist identisch mit der Massenstromdichte.

Inertialsysteme sind Bezugssysteme, in denen sich ein kräftefreier Körper geradlinig-gleichförmig bewegt.
Masse, schwere und träge

Die Bewegungsgleichungen sind dann unter einer infinitesimalen Transformation invariant, wenn \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon} \left.\left[L\left(t', q', \frac{\mathrm{d}q'}{\mathrm{d}t'}\right) \dot t'\right] \right\rvert_{\epsilon = 0} = \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d}t} \end{equation} für eine beliebige Funktion $f$ gilt.

Beim Übergang von kartesischen Koordinaten $x_i$ zu allgemeinen Koordinaten $q_j$ erfüllt das Volumenelement $\mathrm{d} V = \mathrm{d} x_1\, \mathrm{d} x_2\, \mathrm{d} x_3 = (\det \boldsymbol{J})\, \mathrm{d} q_1\, \mathrm{d} q_2\, \mathrm{d} q_3, $ wobei $ \boldsymbol{J}$ die zugehörige Jacobi-Matrix ist. Die Größe $\det \boldsymbol{J}$ nennt man die Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante, mit der häufigen Schreibweise \begin{equation} \det \boldsymbol{J} = \det \left(\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\right). \end{equation}

Die durch $ J_{ij} := \partial_{q_j} x_i $ definierte Matrix einer Koordinatentransformation $q_i(x_j)$ mit Umkehrung $x_i(q_j)$ heißt Jacobi-Matrix der Koordinatentransformation. Häufig schreibt man auch \begin{equation} \boldsymbol{J} = \frac{\partial(x_1, x_2, x_3)}{\partial (q_1, q_2, q_3)}. \end{equation}

Unter kanonischen Transformationen versteht man Transformationen $Q$ und $P$, welche die Form der kanonischen Gleichungen invariant lassen und somit \begin{equation} \dot Q_j = \frac{\partial H'}{\partial P_j} \,,\quad \dot P_j = - \frac{\partial H'}{\partial Q_j} \end{equation} erfüllen, wobei $H'(t, Q, P)$ eine geeignete Funktion ist.

Erstes Kepler'sches Gesetz: Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Drittes Kepler'sches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen Bahnhalbachsen: \begin{equation} T^2 = \frac{4 \pi^2 \mu}{\alpha} a^3. \end{equation} Der Term $4 \pi^2 \mu / \alpha$ ist dabei näherungsweise eine Konstante.

Anstelle der $3 N$ abhängigen Parameter $x_i$ der kartesischen Koordinaten kann man $F = 3 N - r$ unabhängige Parameter $q_j$ ($1 \leq j \leq F$) definieren, die nicht durch die Zwangsbedingungen eingeschränkt werden. Diese werden als neue, verallgemeinerte Koordinaten verwendet. Man spricht auch von generalisierten Koordinaten.

Beim Übergang von kartesischen Koordinaten $x_i$ zu allgemeinen Koordinaten $q_j$ erfüllt das Volumenelement $\mathrm{d} V = \mathrm{d} x_1\, \mathrm{d} x_2\, \mathrm{d} x_3 = (\det \boldsymbol{J})\, \mathrm{d} q_1\, \mathrm{d} q_2\, \mathrm{d} q_3, $ wobei $ \boldsymbol{J}$ die zugehörige Jacobi-Matrix ist. Die Größe $\det \boldsymbol{J}$ nennt man die Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante, mit der häufigen Schreibweise \begin{equation} \det \boldsymbol{J} = \det \left(\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\right). \end{equation}

Die Zwangskraft hängt im allgemeinen Fall vom momentanen Bewegungszustand (z.B. der Geschwindigkeit) ab. Da dieser bei der Formulierung des Problems in der Regel unbekannt ist, lassen sich die Newton'schen Bewegungsgleichungen in Anwesenheit von Zwangsbedingungen nicht direkt in herkömmlicher Weise lösen.

Bezeichnet in einem gegebenen Inertialsystem $\boldsymbol{F}$ weiterhin die gewöhnliche Zeitableitung des (relativistischen) Impulses $\boldsymbol{p}$, dann gilt\begin{equation} F^\mu=\begin{pmatrix}F^0 \\ F^m\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}F^0 \\ \gamma\boldsymbol{F} \end{pmatrix}. \end{equation}

Ein kräftefreier symmetrischer Kreisel erlaubt die Lösung \begin{equation} \vartheta(t) = \vartheta_0, \quad \psi(t) = \Omega t + \psi_0, \quad \varphi(t) = \Omega' t + \varphi_0 \end{equation} für die Euler-Winkel.

Ein kräftefreier symmetrischer Kreisel erlaubt die Lösung \begin{equation} \vartheta(t) = \vartheta_0, \quad \psi(t) = \Omega t + \psi_0, \quad \varphi(t) = \Omega' t + \varphi_0 \end{equation} für die Euler-Winkel.

Für einen Vektor $\mathfrak{A}$ mit der Darstellung $(A_r, A_\vartheta, A_\varphi)$ in Kugelkoordinaten gilt \begin{equation} \mathrm{div} \mathfrak{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial (r^2 A_r)}{\partial r} + \frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial (\sin \vartheta A_\vartheta)}{\partial \vartheta} + \frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}. \end{equation}

Für einen Vektor $\mathfrak{A}$ mit der Darstellung $(A_r, A_\vartheta, A_\varphi)$ in Kugelkoordinaten gilt \begin{eqnarray} \mathrm{rot} \mathfrak{A} &=& \frac{\boldsymbol{\hat e}_r}{r \sin \vartheta} \left[\frac{\partial (\sin \vartheta A_\varphi)}{\partial \vartheta} - \frac{\partial A_\vartheta}{\partial \varphi}\right] \\ && + \frac{\boldsymbol{\hat e}_\vartheta}{r} \left[\frac{1}{\sin \vartheta} \frac{\partial A_r}{\partial \varphi} - \frac{\partial (r A_ \varphi)}{\partial r}\right] \\ && + \frac{\boldsymbol{\hat e}_ \varphi}{r} \left[\frac{\partial (r A_\vartheta)}{\partial r} - \frac{\partial A_r}{\partial \vartheta}\right]. \end{eqnarray}

Die Lagrange-Gleichungen für das dreidimensionale Feld $\boldsymbol{q}(t, \boldsymbol{r})$ lauten \begin{equation} \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} - \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial}{\partial r_j} \frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_j q_i)} = 0 \quad (i = x, y, z). \end{equation}

Gibt es eine holonome Zwangsbedingung \begin{equation} f(t, \boldsymbol{x}) = 0, \end{equation} so führt dies auf eine Zwangskraft \begin{equation} \boldsymbol{Z} = \lambda \boldsymbol{\nabla} f \end{equation} mit einem Lagrange-Multiplikator $\lambda$. Die Lagrange-Gleichungen erster Art lauten dann \begin{equation} m \ddot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{F} + \lambda \boldsymbol{\nabla} f \end{equation} mit der angewandten Kraft $\boldsymbol{F}$ aus den Newton'schen Bewegungsgleichungen.

Für holonome Zwangsbedingungen lauten die Bewegungsgleichungen der generalisierten Koordinaten \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial T}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial T}{\partial q_j} = Q_j, \quad (1 \leq j \leq F). \end{equation}

Der Laplace-Operator $\varDelta$, angewandt auf eine skalare Funktion $f$, hat in Kugelkoordinaten $(r, \vartheta, \varphi)$ die Gestalt: \begin{equation} \varDelta f = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} r^2 \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta} \sin \vartheta \frac{\partial f}{\partial \vartheta} + \frac{1}{r^2 \sin^2 \vartheta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}. \end{equation}

In Matrixform geschrieben lautet die Lorentz-Transformation von einem Inertialsystem $\mathcal S$ auf ein Inertialsystem $\mathcal S'$, das sich gegenüber $\mathcal S$ mit Geschwindigkeit $v=\beta\, c$in positiver $x$-Richtung bewegt: \begin{equation} \left( \begin{array}{c} c t^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array} \right) = \underbrace{\left( \begin{array}{cccc} \gamma & - \beta\gamma & 0 & 0 \\ - \beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)}_{\boldsymbol{\Lambda}(v)} \; \left( \begin{array}{c} c t \\ x \\ y \\ z\end{array} \right), \end{equation} mit den gebräuchlichen Abkürzungen $\beta:=\frac{v}{c},\qquad \gamma:=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$.

Die durch $ J_{ij} := \partial_{q_j} x_i $ definierte Matrix einer Koordinatentransformation $q_i(x_j)$ mit Umkehrung $x_i(q_j)$ heißt Jacobi-Matrix der Koordinatentransformation. Häufig schreibt man auch \begin{equation} \boldsymbol{J} = \frac{\partial(x_1, x_2, x_3)}{\partial (q_1, q_2, q_3)}. \end{equation}

Eine Punktmasse befindet sich im Gleichgewicht am stationären Ort $q_0$, wenn die Summe aller auf sie wirkenden generalisierten Kräfte verschwindet: \begin{equation} Q = - \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}V}{q}\right\rvert_{q=q_0} = 0. \end{equation}

Das erste Newton'sche Axiom ändert seine Form unter Galilei-Transformationen nicht. Dies ist äquivalent zu einem Übergang von einem zu einem anderen Inertialsystem. Sind zwei Koordinatensysteme gegeneinander beschleunigt, treten Zusatzterme auf, und das erste Newton'sche Axiom ist nicht mehr kovariant. Das zweite Newton'sche Axiom ist unter Galilei-Transformationen kovariant. Die Newton'schen Bewegungsgleichungen ändern ihre Form beim Übergang zwischen Inertialsystemen nicht.

Zweites Newton'sches Axiom: Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.

Viertes Newton'sches Axiom: Wirken auf einen Punkt mehrere Kräfte, so addieren sich diese vektoriell zu einer resultierenden Kraft auf.

Sind die Bewegungsgleichungen unter der infinitesimalen Koordinatentransformation $q_i \to q'_i = q_i + \epsilon \tilde q_i(t, q, \dot q), \quad t \to t' = t + \epsilon \tilde t(t, q, \dot q)$ invariant, d.h. gilt $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon} \left.\left[L\left(t', q', \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q'}{t'}\right) \dot t'\right] \right\rvert_{\epsilon = 0} = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}$, so ist die Größe \begin{equation} I(t, q, \dot q) = \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \tilde q_i + \left(L - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \dot q_i\right) \tilde t - f \end{equation} eine Erhaltungsgröße. Dies bedeutet: Zu jeder infinitesimalen Transformation, welche die Wirkung höchstens um eine Konstante ändert, gibt es eine Erhaltungsgröße.

Passive Koordinatentransformationen entsprechen dem Wechsel von einem Koordinatensystem zu einem anderen. Sie haben keine Auswirkung auf physikalische Größen, ändern aber in der Regel ihre Darstellung.

In vielen Fällen lassen sich qualitative physikalische Aussagen treffen, ohne die Bewegungsgleichungen direkt zu lösen. Dazu ist es hilfreich, sich die Struktur der Gleichungen und gegebenenfalls Grenzfälle zu betrachten.

Sind zwei Observablen $F$ und $G$ gegeben, so lautet die Poisson-Klammer \begin{equation} \left\lbrace F, G\right\rbrace := \sum_i \left(\frac{\partial F}{\partial q_i} \frac{\partial G}{\partial p_i} - \frac{\partial F}{\partial p_i} \frac{\partial G}{\partial q_i}\right). \end{equation}

Die Figurenachse (Symmetrieachse) des kräftefreien Kreisels präzediert im raumfesten System $\mathcal S$ mit der Frequenz \begin{equation} \Omega' = \frac{\Theta_3 \omega^∗_3}{\Theta \mathrm{cos\:} \vartheta} = \frac{L}{\Theta} \end{equation} um die Drehimpulsachse.

Der Drehimpulssatz eines Systems von Punktmassen, zwischen denen nur Zentralkräfte wirken, lautet \begin{equation} \dot{ \boldsymbol{L}} = \sum_i \boldsymbol{M}^{(\mathrm{a})}_i = \boldsymbol{M}^{(\mathrm{a})}. \end{equation} Der Gesamtdrehimpuls dieses Systems wird lediglich von den äußeren Kräften bzw. äußeren Drehmomenten beeinflusst. Verschwindet das Gesamtdrehmoment der äußeren Kräfte, so ist der Gesamtdrehimpuls des Systems erhalten.

Der Impulssatz eines Systems von Punktmassen lautet \begin{equation} \dot{\boldsymbol{P}} = \sum_i \boldsymbol{F}^{(\mathrm{a})}_i = \boldsymbol{F}^{(\mathrm{a})} \end{equation} Die Bewegung des Schwerpunktes wird nur durch äußere, nicht jedoch durch innere Kräfte beeinflusst. Verschwindet die Summe aller äußeren Kräfte, so ist der Gesamtimpuls erhalten, d.h. der Schwerpunkt bewegt sich geradlinig-gleichförmig.

Für ein System von $N$ Punktmassen unter dem Einfluss von $r$ unabhängigen holonomen Zwangsbedingungen $f_a(t, \boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_N)$ lauten die Lagrange-Gleichungen erster Art \begin{equation} m_i \ddot{\boldsymbol{x}}_i = \boldsymbol{F}_i + \sum_{a=1}^r \lambda_a \boldsymbol{\nabla}_i f_a \quad (1 \leq i \leq N) \end{equation} bzw. \begin{equation} m_i \ddot x_i = F_i + \sum_{a=1}^r \lambda_a \frac{\partial f_a}{\partial x_i} \quad (1 \leq i \leq 3 N) \end{equation} in der komponentenweisen Darstellung.

Die Relation \begin{equation} (p^0)^2-\boldsymbol{p}^2\equiv \frac{E^2}{c^2}-\boldsymbol{p}^2=m^2 c^2\end{equation} behält ihre Gültigkeit auch für masselose Teilchen, wobei die Identifikationvon $\boldsymbol{p}=\gamma m\boldsymbol{v}$ fallen gelassen wird. Masselose Teilchen haben $|\boldsymbol{v}|=c$ und $|\boldsymbol{p}|=E/c$; sie werden durch einen lichtartigen Vierervektor ($p^\mu p_\mu=0$) charakterisiert.

Für abgeschlossene physikalische Systeme mit einer Lagrange-Funktion der Form \begin{equation} L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\dot{x}}) = \frac{1}{2} \sum_i m_i \boldsymbol{\dot{x}}_i^2 - \frac{1}{2} \sum_{j \not= i} V_{ij}(\lvert \boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{x}_j \rvert).\end{equation} gelten die folgenden vier wichtigen Prinzipien, die man umgekehrt benutzen kann, um die erhaltenen Größen zu definieren: 1.) Homogenität der Zeit: Die Bewegungsgleichungen sind invariant unter einer willkürlichen Verschiebung des Zeitnullpunktes. Man definiert allgemein die Energie als diejenige erhaltene Größe, die sich aus der Homogenität der Zeit ergibt. 2.) Homogenität des Raumes: Eine willkürliche Verschiebung aller Punktmassen hat keinen Einfluss auf die Bewegungsgleichungen. Man definiert allgemein den Gesamtimpuls als diejenige erhaltene Größe, die sich aus der Homogenität des Raumes ergibt. 3.) Isotropie des Raumes: Auch unter willkürlichen Drehungen des Systems bleiben die Bewegungsgleichungen invariant. Es ist keine Richtung ausgezeichnet. Allgemein wird der Gesamtdrehimpuls als diejenige Erhaltungsgröße definiert, die sich aus der Isotropie des Raumes ergibt. 4.) Relativitätsprinzip: Die Bewegungsgleichungen sind invariant unter Transformationen, bei denen der Schwerpunkt mit einer konstanten Geschwindigkeit $\boldsymbol{\dot b}$ bewegt wird.

Für einen Vektor $\mathfrak{A}$ mit der Darstellung $(A_r, A_\vartheta, A_\varphi)$ in Kugelkoordinaten gilt \begin{eqnarray} \mathrm{rot} \mathfrak{A} &=& \frac{\boldsymbol{\hat e}_r}{r \sin \vartheta} \left[\frac{\partial (\sin \vartheta A_\varphi)}{\partial \vartheta} - \frac{\partial A_\vartheta}{\partial \varphi}\right] \\ && + \frac{\boldsymbol{\hat e}_\vartheta}{r} \left[\frac{1}{\sin \vartheta} \frac{\partial A_r}{\partial \varphi} - \frac{\partial (r A_ \varphi)}{\partial r}\right] \\ && + \frac{\boldsymbol{\hat e}_ \varphi}{r} \left[\frac{\partial (r A_\vartheta)}{\partial r} - \frac{\partial A_r}{\partial \vartheta}\right]. \end{eqnarray}

Der differenzielle Wirkungsquerschnitt $\frac{ \mathrm{d} \sigma}{ \mathrm{d} \Omega}$ hängt mit dem Stoßparameter $b$ und dem Streuwinkel $\vartheta$ im Schwerpunktsystem zusammen: \begin{equation} \frac{ \mathrm{d} \sigma}{ \mathrm{d} \Omega} = \frac{b( \vartheta')}{\sin \vartheta'} \left\lvert \frac{ \mathrm{d} b( \vartheta')}{ \mathrm{d} \vartheta'}\right\rvert = \frac{1}{2\, \sin \vartheta'} \left\lvert \frac{ \mathrm{d} b^2( \vartheta')}{ \mathrm{d} \vartheta'}\right\rvert. \end{equation} Der Zusammenhang $b( \vartheta')$ für ein gegebenes Potenzial $V(r)$ kann aus $$ \vartheta' = \pi - 2b \int_{r_{\mathrm{min}}}^\infty \frac{\mathrm{d} r'}{r'^2 \sqrt{\left(1 - b^2 / r'^2 - V(r') / E\right)}} $$ abgeleitet werden.

Für das Coulomb-Potenzial, $V(r) = - \alpha/r$, ergibt sich der differenzielle Wirkungsquerschnitt im Schwerpunktsystem zu \begin{equation} \frac{ \mathrm{d} \sigma}{ \mathrm{d} \Omega} = \left(\frac{\alpha}{4 E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4 ( \vartheta' / 2)}. \end{equation}

Die Bewegungsgleichungen der kontinuierlichen, kräftefrei schwingenden Saite lauten \begin{eqnarray} \rho \frac{\partial^2 q_\|(t, x)}{\partial t^2} - Y \frac{\partial^2 q_\|(t, x)}{\partial x^2} &=& 0, \nonumber \\ \rho \frac{\partial^2 \boldsymbol{q}_\perp(t, x)}{\partial t^2} - F \frac{\partial^2 \boldsymbol{q}_\perp(t, x)}{\partial x^2} &=& 0. \end{eqnarray} Sie ist auf dem Intervall $(0, \ell')$ definiert.

" Der Steiner'sche Satz (nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner, 1796-1863) besagt: ""Das Trägheitsmoment eines starren Körpers mit der Masse $M$ um eine beliebige Drehachse im Abstand $l$ von seinem Schwerpunkt ist gleich dem Trägheitsmoment um die parallele Drehachse, die durch den Schwerpunkt verläuft, plus $M l^2$."""

Mit den Parametern $\xi = x + v t$ und $\eta = x - v t$ nimmt die Schwingungsgleichung die einfache Form \begin{equation} \frac{\partial^2 q}{\partial \xi \partial \eta} = 0 \end{equation} an.

Im Gegensatz zu einer Volumenkraft wie der Gravitation beschreibt der Spannungstensor $\boldsymbol{\sigma}$ Flächenkräfte: Auf ein orientiertes Flächenelement $\mathbf{d} \boldsymbol{A}$ wirkt die Kraft \begin{equation} \mathbf{d} \boldsymbol{F} = \boldsymbol{\sigma}\, \mathbf{d} \boldsymbol{A}. \end{equation}

Die Rotation eines kräftefreien Kreisels ist stabil, wenn sie um die Hauptachse mit dem kleinsten oder größten Trägheitsmoment erfolgt. Im anderen Fall ist die Bewegung instabil.

" Der Steiner'sche Satz (nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner, 1796-1863) besagt: ""Das Trägheitsmoment eines starren Körpers mit der Masse $M$ um eine beliebige Drehachse im Abstand $l$ von seinem Schwerpunkt ist gleich dem Trägheitsmoment um die parallele Drehachse, die durch den Schwerpunkt verläuft, plus $M l^2$."""

Der differenzielle Wirkungsquerschnitt $\frac{ \mathrm{d} \sigma}{ \mathrm{d} \Omega}$ hängt mit dem Stoßparameter $b$ und dem Streuwinkel $\vartheta$ im Schwerpunktsystem zusammen: \begin{equation} \frac{ \mathrm{d} \sigma}{ \mathrm{d} \Omega} = \frac{b( \vartheta')}{\sin \vartheta'} \left\lvert \frac{ \mathrm{d} b( \vartheta')}{ \mathrm{d} \vartheta'}\right\rvert = \frac{1}{2\, \sin \vartheta'} \left\lvert \frac{ \mathrm{d} b^2( \vartheta')}{ \mathrm{d} \vartheta'}\right\rvert. \end{equation} Der Zusammenhang $b( \vartheta')$ für ein gegebenes Potenzial $V(r)$ kann aus $$ \vartheta' = \pi - 2b \int_{r_{\mathrm{min}}}^\infty \frac{\mathrm{d} r'}{r'^2 \sqrt{\left(1 - b^2 / r'^2 - V(r') / E\right)}} $$ abgeleitet werden.

Für das Coulomb-Potenzial, $V(r) = - \alpha/r$, ergibt sich der differenzielle Wirkungsquerschnitt im Schwerpunktsystem zu \begin{equation} \frac{ \mathrm{d} \sigma}{ \mathrm{d} \Omega} = \left(\frac{\alpha}{4 E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4 ( \vartheta' / 2)}. \end{equation}

Wir halten fest, dass man wegen $T_{ij} = T(\boldsymbol{\hat e}_i \,,\, \boldsymbol{\hat e}_j)$ und $T_{ij} = \frac{T(\boldsymbol{a}\,,\, \boldsymbol{b})}{a_i b_j}$ Tensoren zweiter Stufe als Matrizen darstellen kann. Analog können Tensoren erster Stufe als Vektoren dargestellt werden.

Wird ein starrer Körper in einem Punkt festgehalten, so ist die allgemeine Bewegung eine Drehung um eine Achse, die durch diesen Punkt läuft.

Die Größe $ \boldsymbol{\Theta}'$ mit den neun Komponenten \begin{eqnarray} \Theta'_{ij} &:=& \sum_{a} m_{a} \left(\delta_{ij} \boldsymbol{x}'^2_{a} - x'_{{a}, i} x'_{{a}, j}\right) \\ &=& \sum_{a} m_{a} \begin{pmatrix} x_{{a},2}^2 + x_{{a},3}^2 & -x_{{a},1} x_{{a},2} & -x_{{a},1} x_{{a},3} \\ - x_{{a},1} x_{{a},2} & x_{{a},1}^2 + x_{{a},3}^2 & - x_{{a},2} x_{{a},3} \\ -x_{{a},1} x_{{a},3} & - x_{{a},2} x_{{a},3} & x_{{a},1}^2 + x_{{a},2}^2\end{pmatrix} \end{eqnarray} ist der Trägheitstensor eines starren Körpers in seinem Schwerpunktsystem. Mit seiner Hilfe lässt sich die kinetische Energie (Rotationsenergie) des starren Körpers berechnen, wenn die Winkelgeschwindigkeit $\boldsymbol{\omega}'$ im Schwerpunktsystem bekannt ist: \begin{equation} T'_\mathrm{R} = \frac{1}{2} \omega'_i \Theta'_{ij} \omega'_j = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}'^\top \boldsymbol{\Theta}' \boldsymbol{\omega}'. \end{equation}

Die Komponenten des Trägheitstensors für eine kontinuierliche Massenverteilung $\mu( \boldsymbol{x})$ lauten \begin{equation} \Theta_{ij} = \int \mathrm{d} V\, \mu( \boldsymbol{x}) \left( \boldsymbol{x}^2 \delta_{ij} - x_i x_j\right). \end{equation}

Ist eine Kurve im Phasenraum, der eine Bahn im Konfigurationsraum $\mathbb{R}^f$ zuzuordnen ist.

In Matrixform geschrieben lautet die Lorentz-Transformation von einem Inertialsystem $\mathcal S$ auf ein Inertialsystem $\mathcal S'$, das sich gegenüber $\mathcal S$ mit Geschwindigkeit $v=\beta\, c$in positiver $x$-Richtung bewegt: \begin{equation} \left( \begin{array}{c} c t^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array} \right) = \underbrace{\left( \begin{array}{cccc} \gamma & - \beta\gamma & 0 & 0 \\ - \beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)}_{\boldsymbol{\Lambda}(v)} \; \left( \begin{array}{c} c t \\ x \\ y \\ z\end{array} \right), \end{equation} mit den gebräuchlichen Abkürzungen $\beta:=\frac{v}{c},\qquad \gamma:=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$.

Der Ortsvektor ist ein an den Ursprung gebundener Vektor. Nur Differenzen von Ortsvektoren, $\boldsymbol{d} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{b}$, transformieren sich wie \begin{equation} \boldsymbol{d}' = \boldsymbol{R} \boldsymbol{d}. \end{equation} Solche Größen nennt man im physikalischen Sinne Vektoren.

Unter kanonischen Transformationen versteht man Transformationen $Q$ und $P$, welche die Form der kanonischen Gleichungen invariant lassen und somit \begin{equation} \dot Q_j = \frac{\partial H'}{\partial P_j} \,,\quad \dot P_j = - \frac{\partial H'}{\partial Q_j} \end{equation} erfüllen, wobei $H'(t, Q, P)$ eine geeignete Funktion ist.

Es ist $\mathfrak{a}=a^\mu\mathfrak{e}_\mu$ ein Vierervektor mit kontravarianten Komponenten $a^\mu$, wenn letztere bei einer gemäß \begin{equation} a'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu\,a^\nu\end{equation} transformieren.

Die Vierergeschwindigkeit ist durch \begin{equation} u^\mu = \frac{\mathrm{d}x ^\mu}{\mathrm{d}\tau} = \frac{\mathrm{d}x ^\mu}{\mathrm{d}t } \frac{\mathrm{d}t }{\mathrm{d}\tau}\end{equation}definiert. Sie hängt wegen $\mathrm{d}t /\mathrm{d}\tau=\gamma(v)$ mit der Dreiergeschwindigkeit $\boldsymbol{v}$ gemäß \begin{equation} u^\mu=\gamma(v)\begin{pmatrix} c\\ \boldsymbol{v} \end{pmatrix} \end{equation} zusammen.

Eine Lorentz-kovariante Viererkraft ist durch die Ableitung des Viererimpulses nach der Lorentz-invarianten Eigenzeit gegeben: \begin{equation}F^\mu:=\frac{\mathrm{d} p^\mu}{\mathrm{d}\tau}.\end{equation}

Ist die Bewegung eines Systems von Punktmassen endlich, dann gilt bei hinreichend langer Zeitmittelung der folgende Zusammenhang zwischen der mittleren kinetischen Energie und dem Virial: \begin{equation} \langle T \rangle_t = - \frac{1}{2} \Bigg< \sum_i \boldsymbol{F}_i \cdot \boldsymbol{x}_i \Bigg>_t. \end{equation}

Beim Übergang von kartesischen Koordinaten $x_i$ zu allgemeinen Koordinaten $q_j$ erfüllt das Volumenelement $\mathrm{d} V = \mathrm{d} x_1\, \mathrm{d} x_2\, \mathrm{d} x_3 = (\det \boldsymbol{J})\, \mathrm{d} q_1\, \mathrm{d} q_2\, \mathrm{d} q_3, $ wobei $ \boldsymbol{J}$ die zugehörige Jacobi-Matrix ist. Die Größe $\det \boldsymbol{J}$ nennt man die Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante, mit der häufigen Schreibweise \begin{equation} \det \boldsymbol{J} = \det \left(\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\right). \end{equation}

Ist die Drehmatrix $ \boldsymbol{R}$ zwischen einem Inertialsystem $\mathcal S$ und einem beschleunigten System $\mathcal B$ zeitabhängig, so wird die momentane Winkelgeschwindigkeit $\boldsymbol{\omega}$ von $\mathcal B$ aus dem Produkt $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{R}^\top \dot{ \boldsymbol{R}}$ bestimmt: \begin{equation} b_{ij} = r_{ki} \dot r_{kj} = \epsilon_{ijk} \omega_k, \quad \omega_l = \frac{1}{2} \epsilon_{ijl} b_{ij}. \end{equation} In einer infinitesimalen Zeit $ \mathrm{d} t$ dreht sich $\mathcal B$ dabei um einen Winkel $ \boldsymbol{d} \boldsymbol{\phi} = \boldsymbol{\omega}\, \mathrm{d} t $ um die Achse $\boldsymbol{\omega}$.

Felder $ \boldsymbol{F}( \boldsymbol{x})$, die auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet $G$ definiert sind, haben genau dann ein Potenzial $V( \boldsymbol{x})$, wenn sie in $G$ wirbelfrei (rotationsfrei) sind, \begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{F} = 0 \; \Longleftrightarrow \; \boldsymbol{F} = - \boldsymbol{\nabla} V. \end{equation}

Das Prinzip $\delta S = 0$ ist äquivalent zu den kanonischen Gleichungen \begin{equation} \frac{\partial H}{\partial p_i} = \dot q_i, \quad \frac{\partial H}{\partial q_i} = - \dot p_i \quad (1 \leq i \leq f), \end{equation} welche die Bewegung im Phasenraum beschreiben.

Der differenzielle Wirkungsquerschnitt $\frac{ \mathrm{d} \sigma}{ \mathrm{d} \Omega}$ hängt mit dem Stoßparameter $b$ und dem Streuwinkel $\vartheta$ im Schwerpunktsystem zusammen: \begin{equation} \frac{ \mathrm{d} \sigma}{ \mathrm{d} \Omega} = \frac{b( \vartheta')}{\sin \vartheta'} \left\lvert \frac{ \mathrm{d} b( \vartheta')}{ \mathrm{d} \vartheta'}\right\rvert = \frac{1}{2\, \sin \vartheta'} \left\lvert \frac{ \mathrm{d} b^2( \vartheta')}{ \mathrm{d} \vartheta'}\right\rvert. \end{equation} Der Zusammenhang $b( \vartheta')$ für ein gegebenes Potenzial $V(r)$ kann aus $$ \vartheta' = \pi - 2b \int_{r_{\mathrm{min}}}^\infty \frac{\mathrm{d} r'}{r'^2 \sqrt{\left(1 - b^2 / r'^2 - V(r') / E\right)}} $$ abgeleitet werden.

Die zeitunabhängige Hamilton-Jacobi-Gleichung lautet \begin{equation} H(q, \partial W / \partial q) = a_0. \end{equation}

Sind die angewandten Kräfte $\boldsymbol{F}_i$ konservativ, lautet der Energiesatz in Anwesenheit von holonomen Zwangsbedingungen \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} (T + V) = - \sum_{a=1}^r \lambda_a \frac{\partial f_a}{\partial t}. \end{equation} Die Energie ist erhalten, wenn die Zwangsbedingungen skleronom sind, d.h. ihre partiellen Zeitableitungen verschwinden.

Alle Zwangsbedingungen, die sich nicht in der Form \begin{equation} f_a(t, \boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_N) = 0 \quad (1 \leq a \leq r) \end{equation} schreiben lassen, heißen nichtholonom. Dazu gehören insbesondere (aber nicht ausschließlich) Zwangsbedingungen, die sich nur als Ungleichung formulieren lassen. Man unterscheidet außerdem zeitabhängige bzw. rheonome und zeitunabhängige bzw. skleronome Zwangsbedingungen. Diese Begriffe stammen aus dem Griechischen (rheos: fließend, skleros: starr).

Ist eine generalisierte Koordinate $q_j$ zyklisch, so ist ihr konjugierter Impuls $p_j$ eine Erhaltungsgröße. Jede zyklische Koordinate führt daher auf einen Erhaltungssatz, was einer ersten Integration der Bewegungsgleichung entspricht.